第五节和角公式三年9考高考指数:★★★1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.能用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.能用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式,推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角函数式的化简、求值是高考的常考点.2.公式逆用、变形应用是高考热点.3.在选择题、填空题、解答题中都有所考查.1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式【即时应用】(1)判断下列式子的正误.(请在括号内打“√”或“×”)①cos15°=cos(45°-30°)=cos45°-cos30°()②sin15°=sin(45°-30°)=cos45°sin30°-sin45°cos30°()③cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°+sin60°sin45°()④cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°-sin60°sin45°()(2)计算sin72°cos18°+cos72°sin18°=________.(3)计算cos72°cos12°+sin72°sin12°=________.【解析】(1)cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°·sin30°,故①错误；sin15°=sin(45°-30°)=sin45°·cos30°-cos45°sin30°，故②错误;③正确，cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°+sin60°sin45°,故④错误.(2)原式=sin(72°+18°)=sin90°=1.(3)原式=cos(72°-12°)=cos60°=.答案：(1)①×②×③√④×(2)1(3)2.形如asinx+bcosx的式子的化简asinx+bcosx=________sin(x+φ)(其中sinφ=,cosφ=)【即时应用】(1)把下列三角函数式化成sin(x+φ)的形式：①sinα+cosα=________;②sinα+cosα=_________;③5sinα+12cosα=________.(2)计算：=________.【解析】(1)①sinα+cosα=sin(α+)=2sin(α+)；②sinα+cosα=sin(α+);③5sinα+12cosα=sin(α+φ)=13sin(α+φ)(其中tanφ=).(2)原式===.答案：(1)①2sin(α+)②sin(α+)③13sin(α+φ)(其中tanφ=)(2)三角函数的化简、求值【方法点睛】1.三角函数的化简方法(1)化简方法①寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；②正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；【例1】若cos(+x)=,π＜x＜π,求的值.【解题指南】本题可以利用x=(+x)-的变换，同时要注意x的范围和符号，求出sinx和cosx代入原式求解；也可以化简原式后得到二倍角与和角的三角函数，利用2x=2(+x)-的变换，再利用两角差的余弦和二倍角公式求解.【规范解答】方法一：由＜x＜π,得π＜x+＜2π,又因为cos(+x)=,sin(+x)=-.cosx=cos［(+x)-］=cos(+x)cos+sin(+x)sin=从而sinx=,tanx=7.原式=方法二：原式==sin2xtan(+x),而sin2x=sin［2(+x)-］=-cos2(+x)=-［2(+x)-1］=,tan(+x)==-,所以，原式=×(-)=-.【反思·感悟】1.此题若将cos(+x)=的左边展开成coscosx-sinsinx=,再求cosx,sinx的值就很繁琐，把+x作为整体，并注意角的变换2×(+x)=+2x,这样就可运用二倍角公式.化难为易，化繁为简是三角恒等变换的关键.2.解答有条件限制的求值问题时，要善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系，一般方法是拼角与拆角.【变式训练】已知sin(α+β)=,sin(α-β)=,求的值.【解析】方法一：由题设：⇒从而：.方法二：令x=,∵=5,∴∴x=,即=.【变式备选】已知＜α＜,0＜β＜,cos(+α)=sin(+β)=,求sin(α+β)的值.【解析】∵＜α＜,∴＜+α＜π,又∵cos(+α)=∴sin(+α)=,∵0＜β＜,∴＜+β＜π,又∵sin(+β)=∴cos(+β)=∴sin(α+β)=-sin［π+(α+β)］=-sin［(+α)+(+β)］=-［sin(+α)cos(+β)+cos(+α)si