第四节平面向量的应用三年12考高考指数:★★★1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.2.会用向量方法解决简单的力学问题及其他一些实际问题.1.以向量为载体考查三角函数、解析几何等问题是考查重点，也是热点.2.三大题型均可能出现，客观题主要考查向量的基础知识，与三角函数、解析几何综合的题目主要以解答题出现，难度中档偏上.1.向量在平面几何中的应用(1)平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、长度、夹角等问题.(2)用向量解决常见平面几何问题的技巧①线平行、点共线、相似问题利用平行向量基本定理：∥⇔②垂直问题利用数量积的运算性质：⊥⇔③夹角问题利用夹角公式：cos〈,〉=(3)用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题【即时应用】判断下列命题是否正确.(请在括号中填写“√”或“×”)①若∥则A、B、C三点共线.()②在△ABC中，若＜0，则△ABC为钝角三角形.()③在四边形ABCD中，边AB与CD为对边，若则此四边形为平行四边形.()【解析】①因为共始点A，且∥故①正确；②∵＜0⇔＞0，∴∠B为锐角，不能判断△ABC的形状，故②不正确；③∵∴ABDC,故③正确.答案：①√②×③√2.平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成和向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决.(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移的数量积,即W=F·=|F|||cos〈F，〉.【即时应用】(1)已知两个力F1、F2的夹角为90°，它们的合力F的大小为10N，合力与F1的夹角为60°,那么F1的大小为.(2)已知=(cosx,sinx),=(cosx,-sinx),则函数y=·的最小正周期为.(3)如图，已知两个力的大小和方向，则合力的大小为N；若在图示坐标系中，用坐标表示合力，则合力的坐标为.【解析】(1)如图所示.|F1|=|F|cos60°=10×=5(N).(2)∵y=·=cos2x-sin2x=cos2x,∴T==π.(3)由题意知，F1=(2,3),F2=(3,1)，∴合力F=F1+F2=(2,3)+(3,1)=(5,4),∴合力的大小为=(N).答案：(1)5N(2)π(3)(5,4)【方法点睛】向量方法解决几何问题的步骤(1)建立几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为向量问题；(2)通过向量的运算，研究几何元素之间的关系，如夹角、距离、垂直、平行等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.【提醒】向量关系与几何关系并不完全相同，要注意区别，例如：向量∥并不能说明直线AB∥CD.【例1】(2011·天津高考)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点，则||的最小值为.【解题指南】以直角顶点为原点建立平面直角坐标系，用参数表示出点P、C、B、A的坐标，进而表示出||，然后转化为函数问题求解.【规范解答】建立平面直角坐标系如图所示.设P(0,y),C(0,b)，则B(1,b),A(2,0),则=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y).∴||2=25+(3b-4y)2(0≤y≤b),当y=b时，||最小，||min=5.答案：5【反思·感悟】平面几何问题的向量解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.(2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解.【变式训练】(2012·潍坊模拟)在△ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上且满足=-2，则等于()(A)(B)(C)(D)【解析】选D.由=-2，AM=1，可知PA=.依题设，可画出图形，如图：=·2==向量在三角函数中的应用【方法点睛】平面向量与三角函数的综合问题的命题形式与解题思路(1)以向量为载体的三角函数问题的命题形式和解题思路是：一般题目条件给出向量，其中的坐标中含有三角函数的形式，然后给出向量的运算规则，按照规则得到三角函数的关系式，然后考查利用三角恒等变换研究三角函数的图象与性质.(2)平面向量借助三角函数考查的命题形式和解题思路是：一般给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.【例2】(1)已知向量=(cos-sin),=(cossin),x∈［0,］,则函数g