第六节空间直角坐标系三年4考高考指数:★★1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置；2.会推导空间两点间的距离公式.1.本节内容是用向量法解决立体几何问题的基础，属了解内容，一般不单独命题．2.本节内容的重点是空间点的坐标的确定及空间两点间的距离；3.通过求点的坐标考查空间想象能力，通过求两点间的距离考查计算能力.1.空间直角坐标系及有关概念(1)空间直角坐标系①空间直角坐标系的建立在平面直角坐标系xOy的基础上，通过原点O，再作一条数轴z，使它与__________都垂直,这样它们中的任意两条都互相垂直;轴的方向通常这样选择：从z轴的________看，x轴的正半轴__________________能与y轴的___________，这时，我们说在空间建立了一个空间直角坐标系_____,O叫做坐标原点.②在空间直角坐标系中，若空间内任一点P与三个实数的有序数组(x,y,z)之间建立了_________关系，即_____________.(2)坐标平面①每两条坐标轴分别确定的平面______、______、______，叫做坐标平面.②三个坐标平面把空间分成_____部分，每一部分都称为一个卦限，如图③在每个卦限内，点的坐标各分量的符号是_____的.【即时应用】(1)xOz平面内点的坐标的特点是_______.【解析】点在xOz平面内,故点在y轴上的射影一定是坐标原点,其纵坐标为0,横坐标、竖坐标不确定.(2)在空间直角坐标系中，点M(-5,3,1)关于x轴的对称点坐标为_______.【解析】关于x轴的对称点坐标，横坐标不变，其余坐标变为相反数.答案：(1)纵坐标为0(2)(-5,-3,-1)2.空间两点间的距离空间两点A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)的距离公式是d(A,B)=|AB|=_____________________________.特别地，点A(x,y,z)到原点O的距离公式是d(O,A)=______________.【即时应用】(1)思考:在平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，那么在空间中到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是什么呢?提示：是以定点为球心，以定长为半径的球面.(2)已知空间两点A(2,0,4),B(-6,2,-2)，则线段AB的中点到原点的距离为________.【解析】由中点坐标公式可得线段AB的中点为(-2,1,1),故到原点的距离为答案：(3)已知点P(1,1,1),其关于xOz平面的对称点为P′，则=______________.【解析】由题意得P′(1，-1，1),答案：2求空间点的坐标【方法点睛】1.建立恰当坐标系的原则(1)合理利用几何体中的垂直关系，特别是面面垂直；(2)尽可能地让点落在坐标轴或坐标平面上.2.求空间中点P的坐标的方法(1)过点P作与x轴垂直的平面，垂足在x轴上对应的数即为点P的横坐标；同理可求纵坐标、竖坐标.(2)从点P向三个坐标平面作垂线，所得点P到三个平面的距离等于点P的对应坐标的绝对值，再判断出对应数值的符号，进而可求得点P的坐标.【例1】(1)空间直角坐标系中,点P(2,3,4)在x轴上的射影的坐标为______________.(2)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2，以A为坐标原点建立适当的空间直角坐标系，求其各顶点的坐标.【解题指南】(1)空间直角坐标系中,点在x轴的射影的坐标满足横坐标相同,纵、竖坐标均为零.(2)注意空间直角坐标系的建立以及三棱柱底面三角形角的大小.【规范解答】(1)点P(2,3,4)在x轴上的射影的横坐标与点P相同,纵坐标、竖坐标均为0.故射影坐标为(2,0,0).答案：(2,0,0)(2)以A点为坐标原点，AC、AA1所在直线分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示.设AC的中点是D，连接BD，则BD⊥y轴，且BD=∴A(0,0,0),B(1,0),C(0,2,0)，A1(0,0,2),B1(1,2),C1(0,2,2).【互动探究】本例(2)中若以AC的中点D为坐标原点，以DB,DC所在直线分别为x轴、y轴建立适当的空间直角坐标系，试写出各顶点的坐标.【解析】建立空间直角坐标系,如图所示，则A(0,-1,0),B(0,0),C(0,1,0)，A1(0,-1,2),B1(0,2),C1(0,1,2).【反思·感悟】1.建立坐标系时，常常利用或构造两两垂直的三条直线来解题，特别是所给图形中的垂直关系，更要合理利用.2.对同一几何体，建立的坐标系不同，所得点的坐标也不同．为方便起见常将尽量多的点建在坐标轴上.【变式备选】如图所示，长方体ABCD-A1B