第四节数列的求和三年25考高考指数:★★★★1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.1.高考考查的重点是等差、等比数列的求和公式，错位相减法求和，及裂项相消法求和.2.数列求和常与函数、方程、不等式等诸多知识联系在一起，以复杂多变、综合性强、解法灵活等特征而成为高考的中档题或压轴题.1.公式法与分组求和法(1)公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和①等差数列的前n项和公式:Sn==_____________.②等比数列的前n项和公式:(2)分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法,分别求和而后相加减.【即时应用】(1)(2)若数列{an}的通项公式为an=2n+2n-1，则数列{an}的前n项和Sn=____________.【解析】(1)=(1+2+3+…+10)+=56-(2)Sn=(2+22+23+…+2n)+［1+3+5+…+(2n-1)］==2n+1-2+n2.答案：(1)56-(2)2n+1+n2-22.倒序相加法与并项求和法(1)倒序相加法如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的.(2)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an=(-1)nf(n)类型，可采用两项合并求解.例如，Sn=1002-992+982-972+…+22-12=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5050.【即时应用】(1)函数y=f(x)的图象关于点(,1)对称，则f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)=__________.(2)若Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n，则S17+S33+S50等于_________.【解析】(1)由题意知f(1-x)+f(x)=2,设S=f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6),则S=f(6)+f(5)+…+f(0)+…+f(-4)+f(-5),∴2S=12×2,∴S=12.(2)由题意知Sn=∴S17=9,S33=17,S50=-25,∴S17+S33+S50=1.答案：(1)12(2)13.裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.【即时应用】(1)数列…的前n项和为________.(2)已知数列{an}的通项公式是an=若Sn=10,则n=______.【解析】(1)∵∴=(2)∵an=∴Sn==由Sn=10，即=10得n=120.答案：(1)(2)1204.错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式也可以用此法推导.【即时应用】(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，且an=n·2n,则Sn=_________.(2)已知Sn=则Sn=___________.【解析】(1)∵Sn=1×2+2×22+3×23+…+n·2n,∴2Sn=1×22+2×23+…+(n-1)·2n+n·2n+1,∴-Sn=2+22+23+…+2n-n·2n+1=-n·2n+1=2n+1-n·2n+1-2,∴Sn=(n-1)·2n+1+2.(2)∵Sn=∴∴=∴Sn=答案：(1)(n-1)·2n+1+2(2)分组转化求和【方法点睛】1.分组转化求和的通法数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求数列的前n项和的数列求和．2．常见类型及方法(1)an＝kn＋b，利用等差数列前n项和公式直接求解；(2)an＝a·qn－1，利用等比数列前n项和公式直接求解；(3)an＝bn±cn，数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，采用分组求和法求{an}的前n项和．【例1】(1)已知数列:1,…,则其前n项和Sn=_______________.(2)已知an=①求数列{an}的前10项和S10;②求数列{an}的前2k项和S2k.【解题指南】(1)先求数列的通项公式，再根据通项公式分组求和.(2)把奇数项和偶数项分开求和.【规范解答】(1)∵an=∴Sn==答案：(2)①S10=(6+16+26+36+46)+(2+22+23+24+25)=②由题意知,数列{an}的前2k项中,k个奇数项组成首项为6，公差为10的等差数列，k个偶数项组成首项为2,公比为2的等比数列.