第七节正弦定理和余弦定理三年16考高考指数:★★★掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.1.利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点.2.常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等.3.在平面解析几何、立体几何中常作为工具求角和两点间的距离问题.1.正弦定理【即时应用】(1)思考：在△ABC中，sinA>sinB是A>B的什么条件？提示:充要条件.因为sinA>sinB⇔>⇔a>b⇔A>B.(2)在△ABC中，B＝30°，C＝120°，则a∶b∶c＝_____.【解析】A＝180°－30°－120°＝30°，由正弦定理得：a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝1∶1∶.答案：1∶1∶2.余弦定理【即时应用】(1)如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为_______.(2)在△ABC中，已知，则角A为______.【解析】(1)设底边边长为a，则由题意知等腰三角形的腰长为2a，故顶角的余弦值为＝.(2)由已知得＝－bc，∴cosA＝＝－，又∵0＜A＜π，∴A＝.答案：(1)(2)3.三角形中常用的面积公式(1)S=ah(h表示边a上的高);(2)S=bcsinA==；(3)S=r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径).【即时应用】(1)在△ABC中，A＝60°，AB＝1，AC＝2，则的值为______.(2)在△ABC中，AC＝，AB＝，cosA＝，则＝______.【解析】(1)＝AB·AC·sinA＝sin60°＝.(2)在△ABC中，cosA＝，∴sinA＝，∴＝AB·AC·sinA＝.答案：(1)(2)利用正、余弦定理解三角形【方法点睛】解三角形中的常用公式和结论(1)A+B+C=π；(2)0＜A，B，C＜π，sin=sin=cos，cos=cos=sin，sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=-cosC，tan(A+B)=-tanC.(3)三角形中等边对等角,大边对大角,反之亦然;三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.【例1】根据下列条件解三角形(1)在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，又c＝，b＝4，且BC边上的高h＝，则角C=______.(2)在△ABC中，已知A＞B＞C，且A=2C,b=4,a+c=8，则a=_____,c=_____.(3)已知三角形的两边分别为4和5，它们的夹角的余弦值是方程＋3x－2＝0的根，则第三边长是______.【解题指南】(1)作出高利用直角三角形中的边角关系直接求得；(2)正弦定理和余弦定理结合应用求得；(3)利用方程求出余弦值，再利用余弦定理求得.【规范解答】(1)由于△ABC为锐角三角形，过A作AD⊥BC于D点，sinC＝＝，则C＝60°.(2)由正弦定理=,又A=2C,所以,即,∴cosC=.由已知a+c=8=2b及余弦定理，得cosC==.∴=，整理得(2a-3c)(a-c)=0,∵a≠c,∴2a=3c.∵a+c=8,∴a=,c=.(3)解方程可得该夹角的余弦值为，由余弦定理得：＝21，∴第三边长是.答案：(1)60°(2)(3)【互动探究】本例中的(1)条件不变，若求a,则a=_________.【解析】由余弦定理可知－2abcosC，则－2×a×4×，即－4a－5＝0.所以a＝5或a＝－1(舍去)．因此a边的长为5.答案：5【反思·感悟】1.应熟练掌握正、余弦定理及其变形.解三角形时,有时可用正弦定理,也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理.2.已知两边和其中一边的对角,解三角形时,注意解的情况.如已知a,b,A,则有两解、一解、无解三种情况.【变式备选】在△ABC中,已知a=7,b=3,c=5,求其最大内角和sinC.【解析】由已知得，a>c>b，所以内角A最大，由余弦定理得，cosA==-,A=120°，而cosC===,所以sinC=.利用正、余弦定理判断三角形形状【方法点睛】1.三角形形状的判断思路判断三角形的形状，就是利用正、余弦定理等进行代换、转化，寻求边与边或角与角之间的数量关系，从而作出正确判断．(1)边与边的关系主要看是否有等边，是否符合勾股定理等；(2)角与角的关系主要是看是否有等角，有无直角或钝角等.2.判定三角形形状的两种常用途径(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边,通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断.【提醒】在判断三角形形状时一定要注意解是否唯