第三节正态总体统计量的分布尽管在一般情况下,要确定某个统计量的分布是非常困难的,但在总体服从正态分布时,可以确定某些统计量的分布.定理3.1设总体X～N(),X,X,…,X为其样本,则样本均值与样本方差S独立，且有1）～N(0，1)(3.1)2）～（3.2）3)=～(3.3)4）～t(n-1)(3.4)证明：因为X,X,…,X相互独立，且均服从N()，所以1）=也服从正态分布，且E()=,D()=,故～N()，即有～N(0，1).2）…,相互独立，且均服从N(0,1),由定义2.1知(3.2)成立.样本均值与样本方差S独立性、(3.3）及(3.4)的证明从略.请注意(3.1)与(3.4),(3.2)与(3.3)的区别和联系.现在我们讨论关于两个正态总体的统计量的分布.从正态总体X抽取容量为n样本，其样本均值记为、样本方差记为S；从正态总体Y抽取容量为m样本，其样本均值记为、样本方差记为S；并假设所有的观察都是独立的，即两个样本独立.定理3.2设总体X～N(，),总体Y～N(，),则有1）～F(n-1,m-1)(3.5)2)～t(n+m-2)(3.6)其中=，S=.证明：略.定理3.3设总体X～N(，),总体Y～N(，),则有1)～N(0,1)(3.7)2)～F(n-1,m-1)(3.8)以上定理统称为抽样分布定理,这些定理在以后的区间估计、假设检验中有非常重要的作用.例3.1设随机变量X,X,…,X相互独立且均服从标准正态分布N(0,1),试给出常数c,使得服从分布,并指出其自由度n;试给出常数d,使得d服从t分布,并指出其自由度m.解.(1)由定义2.1知服从自由度为2的分布,所以c=1,n=2.(2)由已知有:即～N(0,1),,再由定义2.2有～t(3),所以d=,m=3例3.2设X,X,…,X为正态总体N(0,)的样本,求常数a,b,c,d,使Q=a服从分布,并求自由度m.解由于X～N(0,),且X之间相互独立,因此X～N(0,),X～N(0,)故～(1)同理+～N(0,8)故(+)～(1)而X+～N(0,12)所以(X+)～(1)～N(0,16)故()～(1)由分布的可加性可知,()～(4)因此当a=时,Q服从自由度为m=4的分布.例3.3设总体X和Y相互独立且均服从正态分布N(0,3),而和分别为总体X和Y的样本,试证明统计量T=～t(9)证明:因为和(i=1,2,独立同分布,所以～N(0,1),～(1)故～N(0,1),～(9)令U=～N(0,1),V=～(9)则U和V相互独立,且由t分布的定义可知,T=～t(9)于是T==～t(9).