第五章大数定律与中心极限定理概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科.随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来.也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机现象.本章要解决的问题大数定理的背景：大量的随机现象中平均结果的稳定性在大量的随机现象中，我们不仅发现随机事件的频率具有稳定性，而且还发现大量随机现象的平均结果也具有稳定性，概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定理统称为大数定律。大数定律是一种必然性与偶然性之间的辩证关系的规律。在讲大数定律之前，我们先介绍几个常用的基本概念和切比雪夫不等式。一、基本概念定义1.3随机变量序列依概率收敛于μ:设μ为常数,{Xn}为随机变量序列,若任意ε>0，恒有如二、切比雪夫不等式当时，因此，切比雪夫不等式成立。证毕。当方差已知时，切比雪夫不等式给出了r.vX与它的期望的偏差不小于的概率的估计式.由此，我们可以更进一步理解方差的概率含义。例1已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700.利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率.P(5200X9400)例2在每次试验中，事件A发生的概率为0.75,利用切比雪夫不等式求：n需要多么大时，才能使得在n次独立重复试验中,事件A出现的频率在0.74~0.76之间的概率至少为0.90?=P(-0.01n<X-0.75n<0.01n)解得定理1（切比雪夫大数定律）证明切比雪夫大数定律主要的数学工具是切比雪夫不等式.证切比雪夫大数定律表明，独立随机变量序列{Xn}，如果方差有共同的上界，则作为切比雪夫大数定律的特殊情况，有下面的定理.则对于任意正数恒有在上式中令并注意到概率不能大于1，定理3（伯努利大数定律）设在n次独立试验中事件A发生的次数为，在每次试验中事件A发生的概率为p，则对于任意给定的正数ε＞0，恒有证明由定理2，得伯努利大数定律从理论上证明了频率的稳定性。只要试验次数n足够大，事件A出现的频率与事件A的概率p有较大偏差的可能性很小。因此在实践中，当试验次数较大时，便可以用事件发生的频率来代替事件发生的概率。事件A发生的概率很小,则由伯努利大数定律可知事件A发生的频率也很小.下面我们举一例说明大数定律的应用.我们介绍均值法，步骤是因此，当N充分大时，应如何近似计算？请思考.这一节我们介绍了大数定律