第三章离散付里叶变换(DFT)DiscreteFourierTransform第一节引言一、序列分类二、DFT引入三、本章主要讨论第二节付里叶变换的几种形式一、引言二、四种不同付里叶变换对1.傅里叶级数(FS)例子2.傅里叶变换(FT)例子3.序列的傅里叶变换(DTFT)例子4.离散傅里叶变换(DFT)总之，一个域的离散必然造成另一个域的周期延拓。二、四种付里叶变换形式的归纳第三节离散付里叶级数(DFS)我们先从周期性序列的离散傅里叶级数(DFS)开始讨论,然后在讨论可作为周期函数一个周期的有限长序列的离散傅里叶变换(DFT).二、DFS定义三、DFS离散付里级数的推导意义1.由非周期连续时间信号推出DFS2.周期性连续时间信号函数3.非周期离散时间信号四、推导DFS正变换得到各抽样频点频率为：代入DTFT式子中，这时由于抽样，信号变成周期离散信号，得：五、DFS的反变换根据正交定理六、回顾DFS第四节离散付里叶级数的性质一、引言假设(1)线性(2)序列移位(循环、移位)频域：(4)时域卷积证明：(5)频域卷积第五节离散付里叶变换DFT一、由DFS引出DFT的定义一、由DFS引出DFT的定义二、DFT定义***注意***三、DFT涉及的基本概念1.主值(主值区间、主值序列)2.移位(1)有限长序列圆周移位的实现步骤(2)例子1(3)M=1时，左移(取主值)3.卷积(1)线性卷积(2)圆周卷积圆周卷积的实现步骤例子:线性卷积与圆周卷积步骤比较2(2)圆周卷积需进行周期延拓,而线性卷积无需周期延拓：并取主值区间：(3)平移(5)相加得到圆周卷积的示意图用图表求解圆卷积5若圆周卷积取长度为N=5,则求圆周卷积用图表求解圆卷积17(3)圆周卷积与线性卷积的性质对比4.对称(1)序列的对称性(a)奇对称(序列)和偶对称(序列)例子:0(b)圆周奇对称(序列)和圆周偶对称(序列)x(n)圆周奇对称(序列)3、长度为N的有限长序列x(n)与y(n)=x((-n))NRN(n)互为圆周偶对称.4、长度为N的有限长序列x(n),若满足x(n)=x((-n))NRN(n)则x(n)是圆周偶对称序列.圆周偶对称(序列)判断序列的圆周奇偶对称性的简便方法(c)共轭对称(序列)和共轭反对称(序列)3、两序列x(n)与y(n)若满足y(n)=-x*(-n)则称互为共轭反对称.4、共轭反对称序列：若一序列x(n),其满足xo(n)=-x*o(-n),称此序列为共轭反对称序列.对于实序列来说,即为xo(n)=-xo(-n)奇对称序列.(d)圆周共轭对称(序列)和圆周共轭反对称(序列)圆周共轭对称(序列)的例子圆周共轭反对称(序列)圆周共轭反对称(序列)例子(2)序列的对称分量奇对称分量和偶对称分量圆周奇对称分量和圆周偶对称分量共轭对称分量和共轭反对称分量圆周共轭对称分量和圆周共轭反对称分量(a)奇对称分量和偶对称分量说明(b)圆周奇对称分量和圆周偶对称分量(c)共轭对称分量和共轭反对称分量(d)圆周共轭对称分量和圆周共轭反对称分量4.相关(1)线性相关(2)圆周相关第六节离散付里叶变换的性质一、引入二、DFT的性质和定理分类三、假设条件四、性质（1）线性线性说明（2）时移--1（2）时移--2--证明（2）时移--3--复习（平移）（3）频移--1（3）频移--2:说明（3）频移-3:应用--时域调制公式（4）圆周卷积定理--1（4）圆周卷积定理--2-说明（4）圆周卷积定理—3线卷积和圆卷积步骤比较（5）圆周相关定理（复习)卷积五、对称性质1.共轭与圆周共轭对称在时频域的对应关系（1）关系1原序列原序列为实序列，其频域为圆周共轭对称序列证明（2）关系2原序列证明（3）关系3原序列2.实(虚)部与圆周共轭对称(反对称)分量在时频域的对应关系关系1关系2关系33.时域是实序列时对应DFT特征（1）特征1（3）特征34.序列及其DFT的奇偶虚实关系(1)奇、偶；虚、实的含义(2)奇偶虚实关系表六、DFT形式下的帕塞瓦尔定理（Parseval’sTheorem)证明Parseval定理证明Parseval定理七、DFT性质一览表1七、DFT性质一览表2总结:离散付里叶变换性质（对称性）2024/9/7第七节抽样z变换频率抽样理论复习：时域抽样定理抽样内插公式主要内容一、z变换与DFT关系（1）引入(2)推导则这正是离散傅里叶变换(DFT)正变换定义式.(3)结论1(4)结论22024/9/72024/9/7二、频率抽样理论（频域抽样不失真条件）（1）问题引入（2）分析（3）结论（4）抽样后序列能否无失真恢复原时域信号（5）注意点（6）例子解：频域抽样，按N=5点，频域抽样，时域延拓相加……,时域延拓的周期个数等于频域的抽样点数N=5，由