第二章Z变换§2-1引言二.变换域分析法1.连续时间信号与系统：信号与系统的频域分析、复频域分析2.离散时间信号与系统：Z变换，DFT(FFT)。Z变换可将差分方程转化为代数方程§2-2Z变换的定义及收敛域二.收敛域1.定义:使序列x(n)的z变换X(z)收敛的所有z值的集合称作X(z)的收敛域.3.一些序列的收敛域(1).预备知识阿贝尔定理:如果级数，在收敛,那么,满足0≤|z|<|z+|的z,级数必绝对收敛。|z+|为最大收敛半径。同样,对于级数，满足的z，级数必绝对收敛。|z_|为最小收敛半径。x(n)第一项为有限长序列,其收敛域为0≤|z|<∞;第二项为z的负幂次级数，由阿贝尔定理可知,其收敛域为Rx-<|z|≤∞;两者都收敛的域亦为Rx-<|z|<∞;Rx-为最小收敛半径。(4)因果序列它是一种最重要的右边序列,由阿贝尔定理可知收敛域为：(5)左边序列第二项为有限长序列,其收敛域;第一项为z的正幂次级数，根据阿贝尔定理,其收敛域为;为最大收敛半径.(6)双边序列第二项为左边序列，其收敛域为：[例2-1]求序列的Z变换及收敛域。解：这相当时的有限长序列，[例2-2]求序列的Z变换及收敛域。解：*收敛域一定在模最大的极点所在的圆外。[例2-3]求序列变换及收敛域。§2-3Z反变换一.定义：已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n)的变换称作Z反变换。Z变换公式：1.留数法由留数定理可知：2、当Zr为L阶(多重)极点时的留数：2.部分分式法有理式：数字和字符经有限次加、减、乘、除运算所得的式子。有理分式：含字符的式子做分母的有理式，或两个多项式的商。分子的次数低于分母时称为真分式。部分分式：把x的一个实系数的真分式分解成几个分式的和，使各分式具有或的形式，其中x2+Ax+B是实数范围内的不可约多项式，而且k是正整数。这时称各分式为原分式的“部分分式”。通常，X(z)可表成有理分式形式：的z反变换。283.幂级数展开法(长除法)因为x(n)的Z变换为Z-1的幂级数，即:所以在给定的收敛域内，把X(z)展为幂级数，其系数就是序列x(n)。如收敛域为|z|>Rx+，x(n)为因果序列，则X(z)展成Z的负幂级数。若收敛域|Z|<Rx-,x(n)必为左边序列，则要展成Z的正幂级数。§2-4Z变换的基本性质和定理如果则有：[例2-7]已知,求其z变换。化简整理得：2.序列的移位3.Z域尺度变换(乘以指数序列)4.序列的线性加权(Z域求导数)5.共轭序列6.翻褶序列7.初值定理8.终值定理又由于只允许X(z)在z=1处可能有一阶极点，故因子（z-1)将抵消这一极点，因此(z-1)X(z)在上收敛。所以可取z1的极限。9.有限项累加特性m4310.序列的卷积和(时域卷积定理)证明：[例2-9]11.序列相乘(Z域卷积定理)[例2-10]：4912.帕塞瓦定理(parseval)*几点说明：§2-5Z变换与拉氏变换、傅氏变换的关系一.Z变换与拉氏变换的关系1.理想抽样信号的拉氏设为连续信号，为其理想抽样信号则：序列x(n)的z变换为：考虑到显然，当时，序列x(n)的z变换就等于理想抽样信号的拉氏变换。2.Z变换与拉氏变换的关系(S、Z平面映射关系)S平面用直角坐标表示为：Z平面用极坐标表示为：又由于所以有：σ=0,即S平面的虚轴→r=1,即Z平面单位圆；σ<0,即S的左半平面→r<1,即Z的单位圆内；σ>0,即S的右半平面→r>1,即Z的单位圆外。Ω=0，S平面的实轴→ω=0，Z平面正实轴；Ω=Ω0(常数)，S:平行实轴的直线→ω=Ω0T,Z:始于原点的射线；ΩS:宽的水平条带→ω整个z平面.58二.Z变换和傅氏变换的关系二.Z变换和傅氏变换的关系所以:序列在单位圆上的Z变换为序列的傅氏变换。数字频率和模拟频率的关系三.序列的傅氏变换§2-6傅氏变换的一些对称性质一、共轭对称序列与共轭反对称序列1.共轭对称序列设一复序列，如果满足xe(n)=xe*(-n)则称序列为共轭对称序列。下面分析它们的对称关系。设序列其中分别表示实部和虚部.对其两边取共轭,则再将-n代入，则根据定义推得：这说明:共轭对称序列的实部是偶对称序列（偶函数），而虚部是奇对称序列（奇函数）。*特殊地，如是实序列，共轭对称序列就是偶对称序列。2.共轭反对称序列设一复序列，如果满足:Xo(n)=－Xo*(-n)则称序列为共轭反对称序列。同样有：2.共轭反对称序列二、任一序列可表为:共轭对称序列与共轭反对称序列之和70三、序列的傅氏变换可表为共轭对称分量