专题六与三角形有关的证明和计算(针对四川中考全等三角形和相似三角形)1．(2016·襄阳)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.(1)求证：AB＝AC；(2)若AD＝2eq\r(3)，∠DAC＝30°，求AC的长．解：(1)∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90°，在Rt△DEB和Rt△DFC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BD＝CD，,DE＝DF，))∴Rt△DEB≌Rt△DFC，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC(2)∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，在Rt△ADC中，∵∠ADC＝90°，AD＝2eq\r(3)，∠DAC＝30°，∴AC＝2CD，设CD＝a，则AC＝2a，∵AC2＝CD2＋AD2，∴4a2＝a2＋(2eq\r(3))2，∵a＞0，∴a＝2，∴AC＝2a＝42．(导学号14952475)(2017·广元预测)在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D，E分别是斜边AB和直角边CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是B′.(1)如图1，如果点B′和顶点A重合，求CE的长；(2)如图2，如果点B′和落在AC的中点上，求CE的长．解：(1)如图1，设CE＝x，则BE＝8－x；由题意得：AE＝BE＝8－x，由勾股定理得：x2＋62＝(8－x)2，解得x＝eq\f(7,4)，即CE的长为eq\f(7,4)(2)如图2，∵点B′落在AC的中点，∴CB′＝eq\f(1,2)AC＝3.设CE＝x，类比(1)中的解法，可列出方程：x2＋32＝(8－x)2，解得x＝eq\f(55,16).即CE的长为eq\f(55,16)3．(导学号14952476)情境观察(1)将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示．将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D，A(A′)，B在同一条直线上，如图2所示．观察图2可知：与BC相等的线段是__AD(A′D)__，∠CAC′＝__90__°.问题探究(2)如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB，AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E，F作射线GA的垂线，垂足分别为P，Q.试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论．解：(1)∵将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，∴与BC相等的线段是AD或A′D，∵∠C′AD＝∠C，∠C＋∠CAB＝90°，∴∠C′AD＋∠CAB＝90°∴∠CAC′＝90°(2)EP＝FQ，理由如下：∵Rt△ABE是等腰三角形，∴EA＝BA，∠PEA＋∠PAE＝90°，∠PAE＋∠BAG＝90°，∴∠PEA＝∠BAG，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EPA＝∠AGB，,∠PEA＝∠BAG，,EA＝AB，))∴△ABG≌△EAP(AAS)，∴AG＝EP.同理AG＝FQ.∴EP＝FQ4．(导学号14952477)(2016·武汉)在△ABC中，P为边AB上一点．(1)如图1，若∠ACP＝∠B，求证：AC2＝AP·AB；(2)若M为CP的中点，AC＝2.①如图2，若∠PBM＝∠ACP，AB＝3，求BP的长；②如图3，若∠ABC＝45°，∠A＝∠BMP＝60°，直接写出BP的长．解：(1)∵∠ACP＝∠B，∠A＝∠A，∴△ACP∽△ABC，∴eq\f(AC,AP)＝eq\f(AB,AC)，∴AC2＝AP·AB(2)①取AP的中点G，连接MG，设AG＝x，则PG＝x，BG＝3－x，∵M是PC的中点，∴MG∥AC，∴∠BGM＝∠A，∵∠ACP＝∠PBM，∴△APC∽△GMB，∴eq\f(AP,GM)＝eq\f(AC,GB)，即eq\f(2x,1)＝eq\f(2,3－x)，∴x＝eq\f(3±\r(5),2)，∵AB＝3，∴AP＝3－eq\r(5)，∴PB＝eq\r(5)；②过C作CH⊥AB于H，延长AB到E，使BE＝BP，设BP＝x，则BE＝BP＝x，∵∠ABC＝45°，∠A＝60°，∴CH＝eq\r(3)，HE＝eq\r(3)＋x，∴CE2＝(eq\r(3))2＋(eq\r(3)＋x)2，∵BE＝BP，PM＝CM，∴BM∥CE，∴∠PMB＝∠PCE＝60°＝∠A，∵∠E＝∠E，∴△ECP∽△EAC，∴eq\f(CE,EP)＝eq\f(AE,CE)，∴CE2＝EP·EA，