滚动小专题(六)与三角形有关的计算与证明1．(2016·泉州)如图，△ABC，△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点E在AB上．求证：△CDA≌△CEB.证明：∵△ABC，△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴CE＝CD，BC＝AC.∴∠ACB－∠ACE＝∠DCE－∠ACE.∴∠ECB＝∠DCA.在△CDA与△CEB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝BC，,∠DCA＝∠ECB，,DC＝EC，))∴△CDA≌△CEB.2．(2016·河北)如图，点B，F，C，E在直线l上(F，C之间不能直接测量)，点A，D在l异侧，测得AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC.(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)指出图中所有平行的线段，并说明理由．解：(1)证明：∵BF＝EC，∴BF＋FC＝EC＋FC，即BC＝EF.又AB＝DE，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF.(2)AB∥DE，AC∥DF.理由：∵△ABC≌△DEF，∴∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE.∴AB∥DE，AC∥DF.3．(2016·襄阳)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.(1)求证：AB＝AC；(2)若AD＝2eq\r(3)，∠DAC＝30°，求AC的长．解：(1)证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.∵BD＝CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF.∴∠B＝∠C.∴AB＝AC.(2)∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC.在Rt△ADC中，∵∠DAC＝30°，AD＝2eq\r(3)，∴AC＝eq\f(AD,cos30°)＝4.4．(2016·北京)如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN.(1)求证：BM＝MN；(2)若∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，求BN的长．解：(1)证明：在△CAD中，∵M，N分别是AC，CD的中点，∴MN∥AD且MN＝eq\f(1,2)AD.在Rt△ABC中，∵M是AC的中点，∴BM＝eq\f(1,2)AC.又∵AC＝AD，∴MN＝BM.(2)∵∠BAD＝60°且AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC＝30°.由(1)知，BM＝eq\f(1,2)AC＝AM＝MC，∴∠BMC＝∠BAM＋∠ABM＝2∠BAM＝60°.∵MN∥AD，∴∠NMC＝∠DAC＝30°.∴∠BMN＝∠BMC＋∠NMC＝90°.∴BN2＝BM2＋MN2.而由(1)知，MN＝BM＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)×2＝1，∴BN＝eq\r(2).5．(2016·泰州)如图，△ABC中，AB＝AC，E在BA的延长线上，AD平分∠CAE.(1)求证：AD∥BC；(2)过点C作CG⊥AD于点F，交AE于点G，若AF＝4，求BC的长．解：(1)证明：∵AD平分∠CAE，∴∠DAG＝eq\f(1,2)∠CAG.∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵∠CAG＝∠B＋∠ACB，∴∠B＝eq\f(1,2)∠CAG.∴∠B＝∠DAG.∴AD∥BC.(2)∵CG⊥AD，∴∠AFC＝∠AFG＝90°.在△AFC和△AFG中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠CAF＝∠GAF，,AF＝AF，,∠AFC＝∠AFG，))∴△AFC≌△AFG(ASA)．∴CF＝GF.∵AD∥BC，∴△AGF∽△BGC.∴GF∶GC＝AF∶BC＝1∶2.∴BC＝2AF＝2×4＝8.6．(2015·菏泽)如图，已知∠ABC＝90°，D是直线AB上的点，AD＝BC.(1)如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF＝BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；(2)如图2，E是直线BC上一点，且CE＝BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．解：(1)△CDF是等腰直角三角形．理由如下：∵AF⊥AD，∠ABC＝90°，∴∠FAD＝∠DBC.在△FAD与△DBC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝BC，,∠FAD＝∠DBC，,AF＝BD，))∴△FAD≌△DBC(SAS)．∴FD＝DC.∴△CDF是等腰三角形．∵△FAD≌△DBC，∴∠FDA＝∠DCB.∵∠BDC＋∠DCB＝90°，∴∠BDC＋∠FDA＝90°，即∠CDF＝90°.∴△CDF是等腰直角三角形．