专题六圆的有关证明与计算圆的切线的判定与性质【例1】(2016·临夏州)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，BD＝DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A，B，D三点．(1)求证：AB是⊙O的直径；(2)判断DE与⊙O的位置关系，并加以证明；(3)若⊙O的半径为3，∠BAC＝60°，求DE的长．分析：(1)连接AD，证AD⊥BC可得；(2)连接OD，利用中位线定理得到OD与AC平行，可证∠ODE为直角，由OD为半径，可证DE与圆O相切；(3)连接BF，先证三角形ABC为等边三角形，再求出BF的长，由DE为三角形CBF中位线，即可求出DE的长．解：(1)连接AD，∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴AB为圆O的直径(2)DE与圆O相切，证明：连接OD，∵O，D分别为AB，BC的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∵OD为圆的半径，∴DE与圆O相切(3)∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝6，连接BF，∵AB为圆O的直径，∴∠AFB＝∠DEC＝90°，∴AF＝CF＝3，DE∥BF，∵D为BC的中点，∴E为CF的中点，即DE为△BCF中位线，在Rt△ABF中，AB＝6，AF＝3，根据勾股定理得BF＝eq\r(62－32)＝3eq\r(3)，则DE＝eq\f(1,2)BF＝eq\f(3\r(3),2)圆与相似【例2】(2016·泸州)如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且∠A＝∠EBC.(1)求证：BE是⊙O的切线；(2)已知CG∥EB，且CG与BD，BA分别相交于点F，G，若BG·BA＝48，FG＝eq\r(2)，DF＝2BF，求AH的值．分析：(1)证∠EBD＝90°即可；(2)由△ABC∽△CBG得eq\f(BC,BG)＝eq\f(AB,BC)，可求出BC，再由△BFC∽△BCD得BC2＝BF·BD，可求出BF，再求出CF，CG，GB，通过计算发现CG＝AG，可证CH＝CB，即可求出AC.解：(1)连接CD，∵BD是直径，∴∠BCD＝90°，即∠D＋∠CBD＝90°，∵∠A＝∠D，∠A＝∠EBC，∴∠CBD＋∠EBC＝90°，∴BE⊥BD，∴BE是⊙O切线(2)∵CG∥EB，∴∠BCG＝∠EBC，∴∠A＝∠BCG，又∵∠CBG＝∠ABC，∴△ABC∽△CBG，∴eq\f(BC,BG)＝eq\f(AB,BC)，即BC2＝BG·BA＝48，∴BC＝4eq\r(3)，∵CG∥EB，∴CF⊥BD，∴△BFC∽△BCD，∴BC2＝BF·BD，∵DF＝2BF，∴BF＝4，在Rt△BCF中，CF＝eq\r(BC2－FB2)＝4eq\r(2)，∴CG＝CF＋FG＝5eq\r(2)，在Rt△BFG中，BG＝eq\r(BF2＋FG2)＝3eq\r(2)，∵BG·BA＝48，∴BA＝8eq\r(2)，∴AG＝5eq\r(2)，∴CG＝AG，∴∠A＝∠ACG＝∠BCG，∠CFH＝∠CFB＝90°，∴∠CHF＝∠CBF，∴CH＝CB＝4eq\r(3)，∵△ABC∽△CBG，∴eq\f(AC,CG)＝eq\f(BC,BG)，∴AC＝eq\f(CB·CG,BG)＝eq\f(20\r(3),3)，∴AH＝AC－CH＝eq\f(8\r(3),3)1．(2016·长沙)如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF.(1)求∠CDE的度数；(2)求证：DF是⊙O的切线；(3)若AC＝2eq\r(5)DE，求tan∠ABD的值．解：(1)∵对角线AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠EDC＝90°(2)连接DO，∵∠EDC＝90°，F是EC的中点，∴DF＝FC，∴∠FDC＝∠FCD，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC，∵∠OCF＝90°，∴∠ODF＝∠ODC＋∠FDC＝∠OCD＋∠DCF＝∠OCF＝90°，∴DF是⊙O的切线(3)∵∠E＋∠DCE＝90°，∠DCA＋∠DCE＝90°，∴∠DCA＝∠E，又∵∠ADC＝∠CDE＝90°，∴△CDE∽△ADC，∴eq\f(DC,AD)＝eq\f(DE,DC)，∴DC2＝AD·DE.设DE＝x，则AC＝2eq\r(5)x，AC2－AD2＝DC2＝AD·DE，即(2eq\r(5)x)2－AD2＝AD·x，整理得AD2＋AD·x－2