专题三简单的几何证明与计算三角形全等【例1】(2016·襄阳)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.(1)求证：AB＝AC；(2)若AD＝2eq\r(3)，∠DAC＝30°，求AC的长．分析：(1)先证△DEB≌△DFC得∠B＝∠C，由此即可证明；(2)先证AD⊥BC，再在Rt△ADC中，利用30°角性质设CD＝a，AC＝2a，根据勾股定理列出方程即可求解．解：(1)∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90°，又∵BD＝CD，∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL)，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC(2)∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，在Rt△ADC中，∵∠ADC＝90°，AD＝2eq\r(3)，∠DAC＝30°，∴AC＝2CD，设CD＝a，则AC＝2a，∵AC2＝AD2＋CD2，∴4a2＝a2＋(2eq\r(3))2，∵a＞0，∴a＝2，∴AC＝2a＝4三角形相似【例2】(2015·岳阳)如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为点F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.(1)求证：△ABM∽△EFA；(2)若AB＝12，BM＝5，求DE的长．分析：(1)由两角相等即可证明；(2)由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可求解．解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC，∴∠AMB＝∠EAF，又∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90°，∴∠B＝∠AFE，∴△ABM∽△EFA(2)∵∠B＝90°，AB＝12，BM＝5，∴AM＝eq\r(122＋52)＝13，AD＝12，∵F是AM的中点，∴AF＝eq\f(1,2)AM＝6.5，∵△ABM∽△EFA，∴eq\f(BM,AF)＝eq\f(AM,AE)，即eq\f(5,6.5)＝eq\f(13,AE)，∴AE＝16.9，∴DE＝AE－AD＝4.9特殊四边形【例3】(2016·贺州)如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF.(1)求证：四边形AECF是菱形；(2)若AB＝eq\r(3)，∠DCF＝30°，求四边形AECF的面积．(结果保留根号)分析：(1)过AC的中点O作EF⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC，由AAS可证△AOF≌△COE，可得AF＝CE，由此即可证明；(2)由四边形ABCD是矩形，易求得CD的长，利用三角函数求得CF的长，即可求解．解：(1)∵O是AC的中点，且EF⊥AC，∴AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFO＝∠CEO，可证△AOF≌△COE(AAS)，∴AF＝CE，∴AF＝CF＝CE＝AE，∴四边形AECF是菱形(2)∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝eq\r(3)，在Rt△CDF中，cos∠DCF＝eq\f(CD,CF)，∠DCF＝30°，∴CF＝eq\f(CD,cos30°)＝2，∵四边形AECF是菱形，∴CE＝CF＝2，∴四边形AECF是的面积为EC·AB＝2eq\r(3)1．(2016·呼和浩特)如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点．(1)求证：△ACE≌△BCD；(2)求证：2CD2＝AD2＋DB2.解：(1)∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACE＋∠ACD＝∠BCD＋∠ACD，∴∠ACE＝∠BCD，可证△ACE≌△BCD(SAS)(2)∵△ACB是等腰直角三角形，∴∠B＝∠BAC＝45°.∵△ACE≌△BCD，∴∠B＝∠CAE＝45°，∴∠DAE＝∠CAE＋∠BAC＝45°＋45°＝90°，∴AD2＋AE2＝DE2.由(1)知AE＝DB，∴AD2＋DB2＝DE2，即2CD2＝AD2＋DB22．(2016·齐齐哈尔)如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F.(1)求证：△ACD∽△BFD；(2)当tan∠ABD＝1，AC＝3时，求BF的长．解：(1)∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF＝∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠C＋∠DBF＝90°，∠C＋∠DAC＝90°，∴∠DBF＝∠DAC，∴△ACD∽△BFD(2)∵tan∠ABD＝1，∠ADB＝90°，∴eq\f(AD,BD