PAGE核心素养专题强化训练1.我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”。（1）观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过。现实上，当勾是3时，股和弦的算式分别是×(9-1),×(9+1)；当勾是5时，股和弦的算式分别是×(25-1)，×(25+1)。根据你发现的规律，分别写出当勾是7时，股和弦的算式。（2）根据（1）的规律，请用含n（n为奇数，且n≥3）的代数式来表示一切这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想它们之间的相等关系（请写出两种），并对其中一种猜想加以证明。（3）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起就没有间断过。运用类似上述探求的方法，直接用含m（m为偶数，且m≥4）的代数式来表示勾、股、弦。2.已知正方形的边长为1。（1）如图①，求一个正方形的对角线长，两个正方形并排拼成的矩形的对角线长，n个呢？（2）根据图②，求证：△BCE∽△BED。（3）如图③，鄙人列所给的三个结论中，经过合情推理选出一个正确的结论加以证明。（ⅰ）∠BEC+∠BDE=45°；（ⅱ）∠BEC+∠BED=45°；（ⅲ）∠BEC+∠DFE=45°。3.课外小组活动时，小慧拿来一道题（原成绩）和小东、小明交流。原成绩：如图①，已知△ABC，∠ACB=90°，∠ABC=45°，分别以AB，BC为边向外作△ABD与△BCE，且DA=DB，EB=EC，∠ADB=∠BEC=90°，连接DE交AB于点F。探求线段DF与EF的数量关系。小慧同学的思绪是过点D作DG⊥AB于点G，构造全等三角形，经过推理使成绩得解。小东同学说：我做过一道类似的标题，不同的是∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60°。小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把成绩推行到普通情况。请你参考小慧同学的思绪，探求并解决这三位同学提出的成绩。（1）写出原成绩中DF与EF的数量关系。（2）如图②，若∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60°，原成绩中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论能否发生变化？请写出你的猜想并加以证明。（3）如图③，若∠ADB=∠BEC=2∠ABC，原成绩中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论能否发生变化？请写出你的猜想并加以证明。参考答案