1.泰勒(tàilè)展开定理2.展开式的唯一性3.简单初等函数的泰勒(tàilè)展开式1.泰勒(Taylor)展开(zhǎnkāi)定理定理（泰勒(tàilè)展开定理）---(*)得证！证明(zhèngmíng)(不讲)(不讲)证明(zhèngmíng)(不讲)2.展开式的唯一性由此可见，任何解析函数(hánshù)展开成幂级数就是Talor级数，因而是唯一的。3.简单(jiǎndān)初等函数的泰勒展开式/上述(shàngshù)求sinz,cosz展开式的方法即为间接法.(2)由幂级数逐项求导性质(xìngzhì)得：(1)另一方面，因ln(1+z)在从z=-1向左沿负实轴剪开的平面(píngmiàn)内解析，ln(1+z)离原点最近的一个奇点是-1,它的展开式的收敛范围为z<1.定理(dìnglǐ)/1.预备(yùbèi)知识2.双边幂级数3.函数展开成双边幂级数4.展开式的唯一性由§4.3知,f(z)在z0解析，则f(z)总可以在z0的某一个圆域z-z0<R内展开(zhǎnkāi)成z-z0的幂级数。若f(z)在z0点不解析，在z0的邻域中就不可能展开(zhǎnkāi)成z-z0的幂级数，但如果在圆环域R1<z-z0<R2内解析，那么，f(z)能否用级数表示呢？由此推想，若f(z)在R1<z-z0<R2内解析,f(z)可以展开成级数，只是这个级数含有负幂次项,即本节将讨论在以z0为中心的圆环域内解析的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数和计算(jìsuàn)留数的基础。1.预备(yùbèi)知识2.双边(shuāngbiān)幂级数级数(2)是一幂级数，设收敛半径(bànjìng)为R2，则级数在z-z0=R2内收敛，且和为s(z)+;在z-z0=R2外发散。3.函数(hánshù)展开成双边幂级数证明(zhèngmíng)由复连通域上的Cauchy积分公式：式(*1),(*2)中系数cn的积分分别是在k2，k1上进行的，在D内取绕z0的简单闭曲线c，由复合闭路定理(dìnglǐ)可将cn写成统一式子：4.展开式的唯一性由唯一性，将函数展开(zhǎnkāi)成Laurent级数，可用间接法。在大都数情况，均采用这一简便的方法求函数在指定圆环域内的Laurent展开(zhǎnkāi)式，只有在个别情况下，才直接采用公式(5')求Laurent系数的方法。例2例4解:/注意(zhùyì)首项(2)对于有理(yǒulǐ)函数的洛朗展开式，首先把有理(yǒulǐ)函数分解成多项式与若干个最简分式之和，然后利用已知的几何级数，经计算展成需要的形式。解(1)在(最大的)去心邻域(línyù)(2)在(最大的)去心邻域(línyù)作业(zuòyè)感谢您的观看(guānkàn)！内容(nèiróng)总结