1.泰勒展开定理2.展开式的唯一性3.简单初等(chūděng)函数的泰勒展开式1.泰勒(tàilè)(Taylor)展开定理定理(dìnglǐ)（泰勒展开定理(dìnglǐ)）---(*)得证！证明(zhèngmíng)(不讲)(不讲)证明(zhèngmíng)(不讲)2.展开式的唯一性由此可见，任何解析函数展开成幂级数(jíshù)就是Talor级数(jíshù)，因而是唯一的。3.简单(jiǎndān)初等函数的泰勒展开式上述求sinz,cosz展开式的方法(fāngfǎ)即为间接法.(2)由幂级数逐项求导性质(xìngzhì)得：(1)另一方面，因ln(1+z)在从z=-1向左沿负实轴剪开的平面内解析，ln(1+z)离原点最近的一个奇点是-1,它的展开式的收敛(shōuliǎn)范围为z<1.定理(dìnglǐ)1.预备知识2.双边(shuāngbiān)幂级数3.函数展开成双边(shuāngbiān)幂级数4.展开式的唯一性由§4.3知,f(z)在z0解析，则f(z)总可以在z0的某一个圆域z-z0<R内展开成z-z0的幂级数。若f(z)在z0点不解析，在z0的邻域中就不可能展开成z-z0的幂级数，但如果在圆环域R1<z-z0<R2内解析，那么，f(z)能否(nénꞬfǒu)用级数表示呢？由此推想，若f(z)在R1<z-z0<R2内解析,f(z)可以展开成级数，只是这个级数含有负幂次项,即本节将讨论在以z0为中心的圆环域内解析的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义(dìngyì)留数和计算留数的基础。1.预备(yùbèi)知识2.双边(shuāngbiān)幂级数级数(2)是一幂级数，设收敛半径(bànjìng)为R2，则级数在z-z0=R2内收敛，且和为s(z)+;在z-z0=R2外发散。3.函数展开(zhǎnkāi)成双边幂级数证明由复连通(liántōng)域上的Cauchy积分公式：式(*1),(*2)中系数cn的积分分别是在k2，k1上进(shàngjìn)行的，在D内取绕z0的简单闭曲线c，由复合闭路定理可将cn写成统一式子：式(*1),(*2)中系数cn的积分(jīfēn)分别是在k2，k1上进行的，在D内取绕z0的简单闭曲线c，由复合闭路定理可将cn写成统一式子：4.展开式的唯一性由唯一性，将函数展开成Laurent级数，可用间接(jiànjiē)法。在大多数情况，均采用这一简便的方法求函数在指定圆环域内的Laurent展开式，只有在个别情况下，才直接采用公式(5')求Laurent系数的方法。例2例4解:注意(zhùyì)首项(2)对于有理函数的洛朗展开式，首先把有理函数分解成多项式与若干个最简分式之和，然后(ránhòu)利用已知的几何级数，经计算展成需要的形式。解(1)在(最大的)去心邻域(línyù)(2)在(最大的)去心邻域(línyù)作业(zuòyè)感谢您的观看(guānkàn)！内容(nèiróng)总结