MSDC模块化分级讲义体系高中数学.圆锥曲线03圆锥曲线综合1（B级）理科.学生版PagePAGE\*Arabic\*MERGEFORMAT17ofNUMPAGES\*Arabic\*MERGEFORMAT17圆锥曲线综合1高考要求内容要求层次重难点圆锥曲线与方程曲线与方程的对应关系B轨迹方程；圆锥曲线与向量综合；数学思想、方法直线与圆锥曲线的位置关系C知识内容中点弦问题1．1点差法对于椭圆，设弦的两端点以及中点的坐标分别为、、，那么两式相减，得（注意，这里连结与是减号）当时，两边同除，得于是我们得到弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系式：特别的，当时，我们经常使用以下结论：在这里，于是上式也即．需要注意的是：当与轴平行（没有斜率）时，，此时，；当与轴平行（斜率为0）时，，此时，．类似的，对于双曲线，有；对于抛物线，有；对于抛物线，有．1．2中点弦问题中的直线与圆锥曲线的位置关系在实际应用中，由于关系式不依赖于弦端点的具体坐标，所以需要事先确定直线与圆锥曲线有两个不同的交点（这与利用弦心距和半径求圆的弦长时，需要首先保证弦的存在性类似）．下面我们来研究如何利用中点弦问题得到直线与圆锥曲线有两个不同交点的充要条件．设直线，将其与椭圆方程联立得，其判别式于是直线与圆锥曲线有两个不同交点等价于．另一方面，若此时我们将与椭圆联立，可以得到“中点”满足的式子：解得，于是因此利用中点弦问题的解法求出的点在椭圆内部是该直线与与圆锥曲线有两个不同交点的充要条件．类似的，我们可以得到，在椭圆上与直线与圆锥曲线相切等价；在椭圆外与直线与圆锥曲线相离等价．定点弦问题2．1直线参数方程的引入与推广2．1．1直线参数方程的引入在这一小节，我们将暂时抛弃斜率、倾斜角、截距等概念，利用纯粹的向量引入平面直角坐标系下的直线，并将这一做法推广至空间．平面上的直线可以由直线上的一点与表征该直线方向的方向向量（其中）确定．容易知道，平面上一点在直线上的充分必要条件就是向量与平行（共线），也即（其中为实数）根据平面向量的坐标运算法则，我们有整理有这就是平面上直线的参数方程，其中参数．为了方便应用，我们经常取单位方向向量，其中为直线的倾斜角．这样做的好处在于此时，也就是说参数有鲜明的几何意义（参数所对应的点到定点的距离为），缺点在于不方便使用和运算．在实际解题中，我们对直线方向的信息往往来自于直线的斜率，于是我们也经常取直线的方向向量为，此时参数所对应的点到定点的距离为，并且可以很方便的进行与圆锥曲线的联立．2．1．2直线参数方程的推广平面上的直线方程还可以通过直线上的一点和直线的法向量引入．容易知道，平面上一点在直线上的充分必要条件就是向量与垂直，也即根据平面向量的坐标运算法则，我们有整理有记，那么就得到直线的一般形式．利用这一引入过程，我们可以很方便的推导出平面上点到直线的距离公式．事实上，（向量在向量方向上的投影长度）而，，代入得与利用方向向量推导平面上的直线方程类似，我们可以方便的推出空间直线的方程其中为空间直线的方向向量，为该直线上的一点．与利用法向量推导平面上的直线方程类似，我们可以方便的推出空间平面的方程其中为空间平面的法向量，，为该空间平面上的一点．而平面上点到直线的距离公式也可以类似的推广到空间上点到平面的距离公式其中点坐标为，平面方程为．2．2利用直线参数方程解定点弦问题直线的参数方程为我们解决通过某定点的直线与圆锥曲线相交时出现的弦长或定比问题提供了解题途径．尤其是当这类问题不方便转化为、中的任何一个方向上研究时（当定点的横纵坐标均不为时），利用直线的参数方程与圆锥曲线方程联立往往可以起到大大简化运算的效果．下面我们通过对第二节中的焦点弦长公式的推导展示这种联立过程．对于通过定点（椭圆的左焦点）、倾斜角为的直线，我们写出直线的参数方程将该方程代入椭圆方程可得整理得于是焦点弦长在实际应用中，一定要特别注意参数的正负（这取决于参数对应的点与定点的位置关系）．另外，应该在重视熟练应用韦达定理化简问题的同时，掌握应用求根公式对问题进行化简的方法．顶点弦问题顶点弦问题的提出来源于圆锥曲线（除抛物线外）的一个重要性质：圆锥曲线上的点与圆锥曲线的一对顶点、（对于圆，取直径的两端点）的连线斜率的乘积为定值．对于椭圆，取其左右顶点，，那么对于将椭圆方程变形，有代入上式，有．类似的，我们可以得到对于双曲线，有；对于圆，有．例题精讲题型一：中点弦问题（2010课标全国卷高考）已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线