MSDC模块化分级讲义体系高中数学.圆锥曲线04圆锥曲线综合2（B级）理科.学生版PagePAGE\*Arabic\*MERGEFORMAT18ofNUMPAGES\*Arabic\*MERGEFORMAT18圆锥曲线综合2高考要求内容要求层次重难点圆锥曲线与方程曲线与方程的对应关系B轨迹方程；圆锥曲线与向量综合；数学思想、方法直线与圆锥曲线的位置关系C知识内容原点连线问题1．1与原点连线互相垂直的问题在解题实践时，我们发现有一类这样的问题，它们的共同点是图形中有两条从原点出发的射线和互相垂直．由于这类问题的表现形式具有很强的对称性，所以有一种富有技巧性的解法．下面以椭圆为例说明这种解法．设椭圆，直线交椭圆与两点、，且与垂直，那么即在排除特殊情形后，上式可以化为可以想象，如果我们可以通过直线与圆锥曲线联立获得一个关于的二次式，那么利用韦达定理考察该二次式就可以解决问题．（当然，我们也可以利用直线方程将转化为关于和的式子，但这样破坏的式子的对称性）问题的关键在于方程不是齐次的．我们将直线方程转化为，代入上式有整理有即……①所以，也就是……②此时二次方程①的判别式大于0即为直线与椭圆有两个交点的充分必要条件，而②就是该直线与椭圆的交点与原点的连线互相垂直的充分必要条件．这种解法的关键在于化齐次的想法，而实现这种想法的关键在于对直线方程的变形．对于一般式，我们将其变形为．类似的，对于斜截式，我们将其变形为，而截距式是天然已经变形完成的式子．第七节将展示这种想法在求圆锥曲线的切线方程时的应用．1．2原点连线问题的推广1．2．1判断点与已知直径的圆位置关系的问题在上一小节中研究的问题也可以看做原点在以为直径的圆上的问题．一般的，如果要判断一个已知点是否在以已知线段为直径的圆内有以下三种途径：（1）计算的中点坐标，线段的长度，进而计算出以为直径的圆的方程这样就可以将点的坐标代入运算，通过比较到圆心的距离与半径的大小判断与圆的位置关系了；（2）在中，计算三条边的长度、和，通过比较与的大小关系判断中是锐角、直角或是钝角，进而判断与以为直径的圆的位置关系；（3）与（2）的想法类似，由于也是向量与的夹角，因此我们可以通过判断的正负来比较与直角的大小关系，进而判断与以为直径的圆的位置关系．在解决实际问题时，由于途径（1）和（2）需要的条件比较苛刻，而对于向量的数量积，设、、有然后再利用直线的方程或是圆锥曲线的方程，结合韦达定理计算上式就可以了．因此这种途径在解题中被广泛应用．特别地，当点为原点时，，这就与上一小节中所研究的问题类似了．因此，有时候我们可以通过平移坐标系的方法将点转化为原点，从而简化运算．值得注意的是，如果需要使得，我们可以将其变形为，然后利用化齐次的办法进行直线与圆锥曲线方程的联立．但是如果需要判断与的大小关系，就需要实现判断的正负了．有时为了方便判断，我们也可以通过平移坐标轴来保证的符号．1．2．2定点连线问题换个角度看等式，可以认为这是一个定值问题．实际上，我们经常遇到需要使得为定值的问题．解决这类问题的思路很简单，只需要用向量的坐标运算计算，然后利用直线或抛物线方程化简式子联合韦达定理加以解决．唯一需要注意的是，如果的表示式的分母中含有变量，那么不妨将定值设出来，然后将代数式变形为整式加以解决．切线问题2．1圆锥曲线的切线问题圆锥曲线的切线问题是直线与圆锥曲线问题中的常见问题，也是圆锥曲线问题中的重难点问题．在正式展开这个问题之前，我们先复习一下圆的切线方程以及抛物线的切线方程求法．对于圆和圆上一点而言，过点的圆的切线与垂直，于是切线方程为．而对于抛物线和其上一点，我们利用导数得到切线的斜率为，因此切线方程为．对于一般的圆锥曲线，我们既不能通过良好的几何性质（例如圆的切线与切点半径连线垂直），也不能通过导数获得切线的斜率．此时，只能依靠直线与圆锥曲线联立后考察判别式来得到切线方程．对于椭圆和双曲线的切线，我们可以通过联立直线与圆锥曲线的方程通过考察判别式的方法求解其方程．设椭圆或双曲线的方程为，其在第一象限的部分有一点（、）满足，设切线为（这里使用了直线的截距式，因为形如的直线不可能是的切线），与的方程联立得整理得根据不等式知识等号当且仅当，也即时取得．于是为所求，此时切线方程为．当点位于其他象限时，可以利用椭圆和双曲线的对称性得到类似的结论．综上，我们可以总结出对于一般的圆锥曲线，过其上一点的切线的方程为．这个结论的证明比较复杂，在这里不再详尽说明．（事实上，在证明几种标准形式的圆锥曲线情形后，通过对坐标系进行平移变换就可以得到一般的圆锥曲线的切线方程