编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第PAGE13页共NUMPAGES13页第PAGE\*MERGEFORMAT13页共NUMPAGES\*MERGEFORMAT13页第二十届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答、评分标准一、参考解答令表示质子的质量，和分别表示质子的初速度和到达a球球面处的速度，表示元电荷，由能量守恒可知（1）因为a不动，可取其球心为原点，由于质子所受的a球对它的静电库仑力总是通过a球的球心，所以此力对原点的力矩始终为零，质子对点的角动量守恒。所求的最大值对应于质子到达a球表面处时其速度方向刚好与该处球面相切（见复解20-1-1）。以表示的最大值，由角动量守恒有（2）由式（1）、（2）可得（3）代入数据，可得（4）若把质子换成电子，则如图复解20-1-2所示，此时式（1）中改为。同理可求得（5）评分标准：本题15分。式（1）、（2）各4分，式（4）2分，式（5）5分。二、参考解答在温度为时，气柱中的空气的压强和体积分别为，（1）（2）当气柱中空气的温度升高时，气柱两侧的水银将被缓慢压入A管和B管。设温度升高到时，气柱右侧水银刚好全部压到B管中，使管中水银高度增大（3）由此造成气柱中空气体积的增大量为（4）与此同时，气柱左侧的水银也有一部分进入A管，进入A管的水银使A管中的水银高度也应增大，使两支管的压强平衡，由此造成气柱空气体积增大量为（5）所以，当温度为时空气的体积和压强分别为（6）（7）由状态方程知（8）由以上各式，代入数据可得K（9）此值小于题给的最终温度K，所以温度将继续升高。从这时起，气柱中的空气作等压变化。当温度到达时，气柱体积为（10）代入数据可得（11）评分标准：本题15分。求得式（6）给6分，式（7）1分，式（9）2分，式（10）5分，式（11）1分。三、参考解答位于通道内、质量为的物体距地心为时（见图复解20-3），它受到地球的引力可以表示为，（1）式中是以地心为球心、以为半径的球体所对应的那部分地球的质量，若以表示地球的密度，此质量可以表示为（2）于是，质量为的物体所受地球的引力可以改写为（3）作用于质量为的物体的引力在通道方向的分力的大小为（4）（5）为与通道的中垂线间的夹角，为物体位置到通道中点的距离，力的方向指向通道的中点。在地面上物体的重力可以表示为（6）式中是地球的质量。由上式可以得到（7）由以上各式可以求得（8）可见，与弹簧的弹力有同样的性质，相应的“劲度系数”为（9）物体将以为平衡位置作简谐振动，振动周期为。取处为“弹性势能”的零点，设位于通道出口处的质量为的静止物体到达处的速度为，则根据能量守恒，有（10）式中表示地心到通道的距离。解以上有关各式，得（11）可见，到达通道中点的速度与物体的质量无关。设想让质量为的物体静止于出口处，质量为的物体静止于出口处，现将它们同时释放，因为它们的振动周期相同，故它们将同时到达通道中点处，并发生弹性碰撞。碰撞前，两物体速度的大小都是，方向相反，刚碰撞后，质量为的物体的速度为，质量为的物体的速度为，若规定速度方向由向为正，则有，（12）（13）解式（12）和式（13），得（14）质量为的物体是待发射的卫星，令它回到通道出口处时的速度为，则有（15）由式（14）、（15）、（16）和式（9）解得（16）的方向沿着通道。根据题意，卫星上的装置可使的方向改变成沿地球处的切线方向，如果的大小恰能使小卫星绕地球作圆周运动，则有（17）由式（16）、（17）并注意到式（6），可以得到（18）已知m，则得（19）评分标准：本题20分。求得式（11）给7分，求得式（16）给6分，式（17）2分，式（18）3分，式（19）2分。四、参考解答图复解20-4-1中画出的是进入玻璃半球的任一光线的光路（图中阴影处是无光线进入的区域），光线在球面上的入射角和折射角分别为和，折射光线与坐标轴的交点在。令轴上的距离为，的距离为，根据折射定律，有（1）在中（2）（3）由式（1）和式（2）得再由式（3）得设点到的距离为，有得（4）解式（4）可得（5）为排除上式中应舍弃的解，令，则处应为玻璃半球在光轴上的傍轴焦点，由上式由图可知，应有，故式（5）中应排除±号中的负号，所以应表示为（6）上式给出随变化的关系。因为半球平表面中心有涂黑的面积，所以进入玻璃半球的光线都有，其中折射光线与轴交点最远处的坐标为（7）在轴上处，无光线通过。随增大