编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第PAGE11页共NUMPAGES11页第PAGE\*MERGEFORMAT11页共NUMPAGES\*MERGEFORMAT11页2003年9月20日第二十届全国中学生物理竞赛复赛试卷题号一二三四五六七总计得分复核人全卷共七题，总分为140分。一、（15分）图中a为一固定放置的半径为R的均匀带电球体，O为其球心．己知取无限远处的电势为零时，球表面处的电势为U=1000V．在离球心O很远的O′点附近有一质子b，它以Ek＝2000eV的动能沿与OO平行的方向射向a．以l表示b与OO线之间的垂直距离，要使质子b能够与带电球体a的表面相碰，试求l的最大值．把质子换成电子，再求l的最大值．解：令表示质子的质量，和分别表示质子的初速度和到达a球球面处的速度，表示元电荷，由能量守恒可知（1）因为a不动，可取其球心为原点，由于质子所受的a球对它的静电库仑力总是通过a球的球心，所以此力对原点的力矩始终为零，质子对点的角动量守恒。所求的最大值对应于质子到达a球表面处时其速度方向刚好与该处球面相切（见复解20-1-1）。以表示的最大值，由角动量守恒有（2）由式（1）、（2）可得（3）代入数据，可得（4）若把质子换成电子，则如图复解20-1-2所示，此时式（1）中改为。同理可求得（5）评分标准：本题15分。式（1）、（2）各4分，式（4）2分，式（5）5分。二、（15分）U形管的两支管A、B和水平管C都是由内径均匀的细玻璃管做成的，它们的内径与管长相比都可忽略不计．己知三部分的截面积分别为cm2，cm2，cm2，在C管中有一段空气柱，两侧被水银封闭．当温度为℃时，空气柱长为＝30cm（如图所示），C中气柱两侧的水银柱长分别为＝2.0cm，＝3.0cm，A、B两支管都很长，其中的水银柱高均为＝12cm．大气压强保持为＝76cmHg不变．不考虑温度变化时管和水银的热膨胀．试求气柱中空气温度缓慢升高到＝97℃时空气的体积．解：在温度为时，气柱中的空气的压强和体积分别为，（1）（2）当气柱中空气的温度升高时，气柱两侧的水银将被缓慢压入A管和B管。设温度升高到时，气柱右侧水银刚好全部压到B管中，使管中水银高度增大（3）由此造成气柱中空气体积的增大量为（4）与此同时，气柱左侧的水银也有一部分进入A管，进入A管的水银使A管中的水银高度也应增大，使两支管的压强平衡，由此造成气柱空气体积增大量为（5）所以，当温度为时空气的体积和压强分别为（6）（7）由状态方程知（8）由以上各式，代入数据可得K（9）此值小于题给的最终温度K，所以温度将继续升高。从这时起，气柱中的空气作等压变化。当温度到达时，气柱体积为（10）代入数据可得（11）评分标准：本题15分。求得式（6）给6分，式（7）1分，式（9）2分，式（10）5分，式（11）1分。三、（20分）有人提出了一种不用火箭发射人造地球卫星的设想．其设想如下：沿地球的一条弦挖一通道，如图所示．在通道的两个出口处和，分别将质量为的物体和质量为的待发射卫星同时自由释放，只要比足够大，碰撞后，质量为的物体，即待发射的卫星就会从通道口冲出通道；设待发卫星上有一种装置，在待发卫星刚离开出口时，立即把待发卫星的速度方向变为沿该处地球切线的方向，但不改变速度的大小．这样待发卫星便有可能绕地心运动，成为一个人造卫星．若人造卫星正好沿地球表面绕地心做圆周运动，则地心到该通道的距离为多少？己知＝20，地球半径＝6400km．假定地球是质量均匀分布的球体，通道是光滑的，两物体间的碰撞是弹性的．解：位于通道内、质量为的物体距地心为时（见图复解20-3），它受到地球的引力可以表示为，（1）式中是以地心为球心、以为半径的球体所对应的那部分地球的质量，若以表示地球的密度，此质量可以表示为（2）于是，质量为的物体所受地球的引力可以改写为（3）作用于质量为的物体的引力在通道方向的分力的大小（4）（5）为与通道的中垂线间的夹角，为物体位置到通道中点的距离，力的方向指向通道的中点。在地面上物体的重力可以表示为（6）式中是地球的质量。由上式可以得到（7）由以上各式可以求得（8）可见，与弹簧的弹力有同样的性质，相应的“劲度系数”为（9）物体将以为平衡位置作简谐振动，振动周期为。取处为“弹性势能”的零点，设位于通道出口处的质量为的静止物体到达处的速度为，则根据能量守恒，有（10）式中表示地心到通道的距离。解以上有关各式，得（11）可见，到达通道中点的速度与物体的质量无关。设想让质量为的物体静止于出口处，质量为的物体静止于出口处，现将它们同时释放，因为它们的振动周期相同，故它们将