第五节变量的相关关系总纲目录1.两个变量的线性相关(1)正相关在散点图中,点散布在从①左下角到②右上角的区域,对于两个变量的这种相关关系,我们将它称为正相关.(2)负相关在散点图中,点散布在从③左上角到④右下角的区域,对于两个变量的这种相关关系,我们将它称为负相关.(3)线性相关关系、回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在⑤一条直线附近,就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线.(4)最小二乘法求回归直线,使得样本数据的点到它的⑥距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法.(5)回归方程方程 = x+ 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)的回归方程,其中 , 是待定参数.2.回归分析(1)回归分析是对具有⑧相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.(2)样本点的中心对于一组具有线性相关关系的数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),我们知道 =  ⑨( , )称为样本点的中心.(3)相关系数: .当r>0时,表明两个变量⑩正相关;当r<0时,表明两个变量 负相关.r的绝对值越接近于1,表明两个变量的线性相关性 越强.r的绝对值越接近于0,表明两个变量之间 几乎不存在线性相关关系.通常|r|大于或等于 0.75时,认为两个变量有很强的线性相关性. 1.观察下列各图: 其中两个变量x,y具有线性相关关系的图是 ()A.①②B.①④C.③④D.②③2.已知变量x和y满足关系y=-0.1x+1,变量y与z正相关.下列结论中正确的是 ()A.x与y正相关,x与z负相关B.x与y正相关,x与z正相关C.x与y负相关,x与z负相关D.x与y负相关,x与z正相关3.设某大学的女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回归方程为 =0.85x-85.71,则下列结论中 的是 ()A.y与x具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心( , )C.若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重必为58.79kg4.已知x,y的对应取值如下表,从散点图可以看出y与x线性相关,且回归方程为 =0.95x+ ,则 = ()5.(2016北京丰台二模)某产品广告费用x(单位:万元)与销售额y(单位:万元)的统计数据如下表,根据下表得到回归方程 =10.6x+a,则a=.答案5.9考点一相关关系的判断 A.r2<r4<0<r3<r1B.r4<r2<0<r1<r3C.r4<r2<0<r3<r1D.r2<r4<0<r1<r3解析(1)观察散点图可知,只有D选项的散点图表示的是变量x与y之间具有负的线性相关关系.(2)由相关系数的意义,结合散点图可知r2<r4<0<r3<r1,故选A.方法技巧对两个变量的相关关系的判断有两种方法:一是根据散点图,若具有很强的直观性,则可直接得出两个变量是正相关或负相关;二是计算相关系数,这种方法能比较准确地反映其相关程度,相关系数的绝对值越接近于1,相关性就越强,相关系数就是描述相关性强弱的.1-1为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系,统计某班学生的两科成绩得到如图所示的散点图(x轴、y轴的单位长度相同),用回归直线方程 =bx+a近似地刻画其相关关系,根据图形,以下结论最有可能成立的是 () A.线性相关关系较强,b的值为1.25B.线性相关关系较强,b的值为0.83C.线性相关关系较强,b的值为-0.87答案B由散点图可以看出两个变量所构成的点在一条直线附近,所以线性相关关系较强,且应为正相关,所以回归直线方程的斜率应为正数,且从散点图观察,回归直线的斜率应该比直线y=x的斜率要小一些,综上可知应选B.1-2四名同学根据各自的样本数据研究变量x,y之间的相关关系,并求得回归直线方程,分别得到以下四个结论:①y与x负相关且 =2.347x-6.423;②y与x负相关且 =-3.476x+5.648;③y与x正相关且 =5.437x+8.493;④y与x正相关且 =-4.326x-4.578.其中一定 的结论的序号是 ()A.①②B.②③C.③④D.①④典例2下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图. (1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明;(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),计算2016年我国生活垃圾无害化处理量.附注:参考数据: yi=9.32, tiyi=40.17, =0.55, ≈2