第五节几何概型总纲目录1.几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的①长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型.2.几何概型的特点(1)无限性:试验中所有可能出现的结果(基本事件)有②无限多个.(2)等可能性:试验结果在每一个区域内③均匀分布.1.已知函数f(x)=x2-2x-3,x∈[-1,4],则f(x)为增函数的概率为 ()A. B. C. D. 2.如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是 () A. B. C. D. 答案B设正方形的边长为2,则正方形的内切圆半径为1,其中黑色部分和白色部分关于正方形的中心对称,则黑色部分的面积为 ,所以在正方形内随机取一点,此点取自黑色部分的概率P= = ,故选B.3.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 ()A. B. C. D. 答案B行人在红灯亮起的25秒内到达该路口,即满足至少需要等待15秒才出现绿灯,根据几何概型的概率公式知所求事件的概率P= = ,故选B.4.如图所示,边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域,在正方形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率为 ,则阴影区域的面积为 . 解析设阴影区域的面积为S,则由题意知 = ,所以S= .5.在长为3m的线段AB上任取一点P,则点P与线段AB两端点的距离都大于1m的概率等于 .考点一与长度有关的几何概型答案(1) (2) 方法技巧与长度有关的几何概型如果试验结果构成的区域可用长度度量,则其概率的计算公式为P(A)= .1-1函数f(x)=sinx(x∈[0,π]),在区间[0,π]上任取一数x0,则f(x0)≥ 的概率为 ()A. B. C. D. 1-2若k∈[-3,3],则k的值使得过A(1,1)可以作两条直线与圆(x-k)2+y2=2相切的概率等于 ()A. B. C. D. 典例2(1)已知线段AB的长为10,在线段AB上随机取两个点C、D,则CD>2的概率为 ()A. B. C. D. (2)已知函数f(x)的部分图象如图所示.向图中的矩形区域随机投出100粒豆子,记下落入阴影区域的豆子数.通过10次这样的试验,算得落入阴影区域的豆子的平均数约为33,由此可估计 f(x)dx的值为 () A. B. C. D. 解析(1)设CA=x,DA=y,则x,y∈[0,10],CD=|CA-DA|=|x-y|.由题意知点(x,y)形成的区域是边长为10的正方形及其内部,其面积为S=10×10,而满足CD>2的区域如图中阴影部分所示,其面积为S1=2× ×8×8=64,则CD>2的概率为P= = . (2)设题图中阴影部分的面积为S,则S= f(x)dx,又由几何概型的定义可知 = ,解得S= ,即 f(x)dx= ,故选A.方法技巧与面积有关的几何概型问题的求解策略求解与面积有关的几何概型问题的关键是弄清某事件对应的面积,必要时要根据题意构造两个变量,把变量看成点的坐标,找到全部试验结果构成的平面图形进而求解.2-1设不等式组 所表示的区域为M,函数y= 的图象与x轴所围成的区域为N,向M内随机投一个点,则该点落在N内的概率为 ()A. B. C. D. 答案B如图,不等式组 表示的区域为△ABC及其内部,函数y= 的图象与x轴所围成的区域为阴影部分,易知区域M的面积为2,区域N的面积为 ,由几何概型的概率公式知所求概率为 = . 考点三与体积有关的几何概型解析(1)点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心,以1为半径的半球的外部.记点P到点O的距离大于1为事件A,则P(A)= =1- .(2)如图,由题意知,当点P在三棱锥的中截面以下时,满足VP-ABC< VS-ABC,故使得VP-ABC< VS-ABC的概率P=1- = . 方法技巧与体积有关的几何概型问题求法的关键点对于与体积有关的几何概型问题,关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间),对于某些较复杂的事件也可利用其对立事件去求.3-1一个多面体的直观图和三视图如图所示,点M是AB的中点,一只蝴蝶在几何体ADF-BCE内自由飞翔,则它飞入几何体F-AMCD内的概率为 () A. B. 答案D因为VF-AMCD= S四边形AMCD·DF= a3,VADF-BCE= a3,所以蝴蝶飞入几何体F-AMCD内的概率为 = .