第四节用样本估计总体总纲目录1.作频率分布直方图的步骤(1)求极差(一组数据中①最大值与②最小值的差).(2)决定③组距与④组数.(3)将数据⑤分组.(4)列⑥频率分布表.(5)画⑦频率分布直方图.2.频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图:连接频率分布直方图中各小长方形上端的⑧中点,就得到频率分布折线图.(2)总体密度曲线:一般地,随着样本容量的增加,作频率分布直方图时⑨所分组数增加,⑩组距减小,相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑曲线,统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.4.样本的数字特征(1)众数、中位数、平均数 .(ii)方差:标准差的平方s2.s2=  [(x1- )2+(x2- )2+…+(xn- )2].与平均数有关的结论(1)若给定一组数据x1,x2,…,xn的平均数为 ,则ax1,ax2,…,axn的平均数为a.(2)若给定一组数据x1,x2,…,xn的平均数为 ,则ax1+b,ax2+b,…,axn+b的平均数为a +b.(3)若M个数的平均数是X,N个数的平均数是Y,则这(M+N)个数的平均数是 ;若两组数据x1,x2,…,xn和y1,y2,…,yn的平均数分别是 和 ,则x1+y1,x2+y2,…,xn+yn的平均数是 + .与方差有关的结论(1)若给定一组数据x1,x2,…,xn,其方差为s2,则ax1,ax2,…,axn的方差为a2s2.(2)若给定一组数据x1,x2,…,xn,其方差为s2,则ax1+b,ax2+b,…,axn+b的方差为a2s2,特别地,当a=1时,有x1+b,x2+b,…,xn+b的方差为s2,这说明将一组数据的每一个数据都加上一个相同的常数,方差是不变的,即不影响数据的波动性.1.某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为 () A.93B.123C.137D.1672.10名工人某天生产同一种零件,生产的件数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a,中位数为b,众数为c,则有 ()A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a3.(2017北京海淀二模)北京市2016年12个月的PM2.5平均浓度指数如图所示.由图判断,四个季度中PM2.5的平均浓度指数方差最小的是() A.第一季度B.第二季度4.(2016北京东城二模)下图是一组数据的频率分布直方图,估计该组数据的中位数是 () A.10B.12C.13D.16答案C由题图可设该组数据的中位数为10+x,由题意,得0.04×5+x·0.1=0.5,解得x=3,故估计该组数据的中位数是13.5.(2015北京通州一模)某同学7次考试的分数的茎叶图如图所示,这名同学7次考试的分数的平均数是86,那么m=. 典例1(2017北京,17,13分)某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:[20,30),[30,40),…,[80,90],并整理得到如下频率分布直方图: (1)从总体的400名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率;(2)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数;(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.所以样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4.所以从总体的400名学生中随机抽取一人,其分数小于70的概率估计为0.4.(2)根据题意,样本中分数不小于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9,分数在区间[40,50)内的人数为100-100×0.9-5=5.所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400× =20.(3)由题意可知,样本中分数不小于70的学生人数为(0.02+0.04)×10×100=60,所以样本中分数不小于70的男生人数为60× =30.所以样本中的男生人数为30×2=60,女生人数为100-60=40,男生和女生人数的比例为60∶40=3∶2.所以根据分层抽样原理,总体中男生和女生人数的比例估计为3∶2.1.绘制频率分布直方图时需注意:(1)制作好频率分布表后,可以利用各组的频率之和是否为1来检验该表是否正确;(2)频率分布直方图的纵坐标是 ,而不是频率.1-1(2017北京朝阳二模)从某中学随机选取了40名男生,将他们的身高作为样本进行统计,得到如图所示的频率分布直方图.观察图中数据,完成下列问题.(1)求a的值及样本中男