第21章二次函数与反比例函数21.2二次函数的图象和性质知识点1二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质1.已知二次函数y=-2x2+4x-3,如果y随x的增大而减小,那么x的取值范围是(A)A.x≥1B.x≥0C.x≥-1D.x≥-2知识点2二次函数y=ax2+bx+c的图象的平移2.把二次函数y=-x2-3x-的图象向上平移3个单位,再向右平移4个单位,则两次平移后的图象的表达式是(A)A.y=-(x-1)2+7B.y=-(x+7)2+7C.y=-(x+3)2+4D.y=-(x-1)2+1解:(1)y=x2-4x-1=x2-4x+4-4-1=(x-2)2-5.∴该抛物线的顶点坐标是(2,-5);∵a=1>0,抛物线开口向上,∴当x=2时,函数y有最小值,最小值是-5.(2)该抛物线可由y=x2先向右平移2个单位长度,再向下平移5个单位长度得到.知识点3二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系4.如图所示,抛物线y=ax2+bx+c与直线y=ax+c的图象画在同一个直角坐标系中,可能是(A)5.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(-1,0),且顶点在第一象限,如图所示.有下列结论:①a<0;②a+b+c>0;③->0;④abc>0.其中正确的是①②③.6.(兰州中考)抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移2个单位再向下平移3个单位,所得图象的表达式为y=x2-2x-3,则b,c的值为(B)A.b=2,c=2B.b=2,c=0C.b=-2,c=-1D.b=-3,c=27.如果b>0,c>0,那么二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是(D)8.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(1,2),B(3,2),C(5,7).若点M(-2,y1),N(-1,y2),K(8,y3)也在二次函数y=ax2+bx+c的图象上,则下列结论正确的是(B)A.y1<y2<y3B.y2<y1<y3C.y3<y1<y2D.y1<y3<y210.(衡阳中考)已知函数y=-(x-1)2图象上两点A(2,y1),B(a,y2),其中a>2,则y1与y2的大小关系是y1>y2(填“<”、“>”或“=”).11.(上海中考)已知一个二次函数的图象开口向上,顶点坐标为(0,-1),那么这个二次函数的表达式可以是y=2x2-1(答案不唯一).(只需写一个)12.(厦门中考)已知点A(-2,n)在抛物线y=x2+bx+c上.(1)若b=1,c=3,求n的值;(2)若此抛物线经过点B(4,n),且二次函数y=x2+bx+c的最小值是-4,请画出点P(x-1,x2+bx+c)的纵坐标随横坐标变化的图象,并说明理由.解:(1)∵b=1,c=3,∴抛物线y=x2+x+3,∵点A(-2,n)在抛物线上,∴n=4+(-2)+3=5.(2)∵此抛物线经过点A(-2,n),B(4,n),∴抛物线的对称轴x==1,∵二次函数y=x2+bx+c的最小值是-4,∴抛物线的表达式为y=(x-1)2-4,∴P(x-1,(x-1)2-4),设P(p,q),则p=x-1,q=(x-1)2-4=p2-4.∴点P的纵坐标q随横坐标p变化的表达式为q=p2-4,图略.13.已知抛物线y=ax2+bx经过点A(-3,-3)和点P(t,0),且t≠0.(1)若该抛物线的对称轴经过点A,如图,请通过观察图象,指出此时y的最小值,并写出t的值;(2)若t=-4,求a,b的值,并指出此时抛物线的开口方向;(3)直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值.14.已知抛物线F:y=x2-2mx+m2-2与直线x=-2交于点P.(1)当抛物线F经过点C(-1,-2)时,求它的表达式;(2)设点P的纵坐标为yP,求yP的最小值,此时抛物线F上有两点(x1,y1),(x2,y2),且x1<x2≤-2,比较y1与y2的大小.解:(1)y=x2+2x-1.(2)当x=-2时,yP=4+4m+m2-2=(m+2)2-2,∴当m=-2时,yP取最小值-2,此时抛物线F的表达式为y=x2+4x+2=(x+2)2-2,∴当x≤-2时,y随x的增大而减小,∵x1<x2≤-2,∴y1>y2.15.(宁波中考)如图,已知抛物线y=-x2+mx+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0).(1)求m的值及抛物线的顶点坐标;(2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点,当PA+PC的值最小时,求点P的坐标.