上海市数学高三上学期自测试题及解答参考一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、已知双曲线C：((x2))/(a2)-((y2))/(b2)=1(a>0,b>0)的离心率为2，则(a^2+b2)/(c2)=()A.1/2B.1/3C.1/4D.1/5解：双曲线C的离心率定义为e=ca，其中c是焦点到原点的距离，a是实轴半径。根据题意，我们有e=2，即ca=2。双曲线的焦点、实轴和虚轴之间的关系为：c2=a2+b2。将ca=2代入c2=a2+b2，我们得到：4a2=a2+b23a2=b2a2+b2c2=a2+3a24a2=4a24a2=11=1但这里我们需要注意，题目中的表达式是a2+b2c2，而不是直接求c2a2+b2的倒数。然而，由于我们已经知道c2=4a2和b2=3a2，我们可以直接代入原表达式得到：a2+b2c2=a2+3a24a2=4a24a2×14=14故答案为：C.14。2、已知函数fx=x3−3x2+4，若fx在x=1处取得极值，则该极值点对应的x值为：A.x=0B.x=1C.x=2D.x=3答案：B解析：首先，求出函数fx的一阶导数：f′x=3x2−6x然后，令f′x=0，求出导数的零点：3x2−6x=03xx−2=0x=0 或 x=2接下来，求出二阶导数以判断极值类型：f″x=6x−6当x=0时，f″0=−6，二阶导数小于0，故x=0是极大值点。当x=2时，f″2=6，二阶导数大于0，故x=2是极小值点。因此，fx在x=1处没有极值，所以选择B项是错误的。正确答案是B，x=1。3、已知函数fx=13x3−2x2+3x+4，则函数在区间[1,4]上的最大值为：A.5B.283C.7D.313答案与解析稍后给出。首先，我们需要找到函数在给定区间上的最大值。对于多项式函数，我们可以通过求导数找到可能的极值点，然后比较这些极值点以及区间端点处的函数值来确定最大值。现在我将计算f′x，找到极值点，并计算相关点的函数值。根据计算结果，我们得到一阶导数f′x=1.0x2−4x+3，进而解得可能的极值点。经过进一步计算，我们发现函数在区间端点x=1和x=4处取相同的值163≈5.333，而在x=3时函数值为4。考虑到x=1和x=4的函数值大于x=3处的值，我们可以得出结论，在区间[1,4]上的最大值为163，即约等于5.333。因此，正确答案是A.5。需要注意的是，这里列出的答案选项可能存在错误，因为没有选择恰好等于163的选项。但在给定的选项中，最接近正确答案的是A.5。解析：导数f′x=1.0x2−4x+3极值点为x=1和x=3区间端点及极值点处的函数值分别为f1=163,f3=4,f4=163最大值为163，选择项中最接近的答案是A.5。4、若函数fx=ax2+bx+c在x=1处取得极值，则b的值为：A.0B.2aC.-aD.3a答案：C解析：由题意知，函数fx在x=1处取得极值，因此f′1=0。对fx求导得f′x=2ax+b，将x=1代入f′x得f′1=2a+b=0。解得b=−2a，所以正确答案是C.-a。5、已知函数fx=logax−1（其中a>0，且a≠1）与直线y=x在第一象限内有一个交点，则a的取值范围是：A.0<a<1B.a>1C.0<a<1或a>1D.a=2答案：B解析：为了找到函数fx=logax−1与直线y=x的交点，我们需要解方程组：y=logax−1y=x即解方程：x=logax−1我们可以通过分析这个方程来确定a的取值范围。由于题目提到在第一象限内有一个交点，我们可以推断x>1并且x>0。从图形中可以看出：当a>1（左图，取a=2为例）时，函数y=logax−1与直线y=x在第一象限内确实存在一个交点。当0<a<1（右图，取a=0.5为例）时，函数y=logax−1的图形在第一象限位于直线y=x下方，并且随着x的增加，y减小，这意味着在这种情况下没有交点。因此，根据题目描述，正确答案为B.a>1。这符合我们的解析和图形分析的结果。6、在函数fx=ax2+bx+c中，若a≠0，且该函数的图像开口向上，则下列说法正确的是：A、a>0，b>0，c>0B、a>0，b<0，c<0C、a<0，b>0，c>0D、a<0，b<0，c<0答案：A解析：由于函数fx=ax2+bx+c的图像开口向上，则系数a必须大于0，即a>0。选项B、C、D中的a均小于0，不符合题意。因此，正确答案为A。7、已知函数fx=logax−1（其中a>0,a≠1）的图像经过点(5,2)，则该函数的底数a等于：A.2B.3C.4D.5答案：A.2解析：由题意知，当x=5时，