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2025年上海市数学高三上学期自测试卷及解答参考一、单选题(本大题有8小题,每小题5分,共40分)1、已知函数fx=logax−1(其中a>0,a≠1)在其定义域内连续,则常数a的取值范围是多少?A.0,1B.1,+∞C.0,1∪1,+∞D.[1,+∞)答案:C解析:对于对数函数fx=logax−1,其定义域为x−1>0,即x>1。此外,为了保证函数在定义域内连续,底数a必须满足两个条件:a>0且a≠1。当0<a<1时,函数为减函数;当a>1时,函数为增函数。无论哪种情况,只要a不等于1并且大于0,函数都在其定义域内连续。因此正确答案为C。2、已知函数fx=2x2−4x+1,则该函数图像与x轴交点的个数为:A.无交点B.1个交点C.2个交点D.无法确定答案及解析如下:为了判断函数fx=2x2−4x+1的图像与x轴的交点个数,我们需要计算该二次方程的判别式Δ的值。如果Δ>0,则有两个不同的实根,即函数图像与x轴有2个交点;如果Δ=0,则有一个重根,即函数图像与x轴有一个交点;如果Δ<0,则没有实根,即函数图像与x轴没有交点。对于给定的二次函数fx=ax2+bx+c,其判别式Δ可以表示为Δ=b2−4ac。现在我们计算Δ来得出答案。给定函数fx=2x2−4x+1的判别式Δ=8,因为Δ>0,说明该二次函数的图像与x轴有2个交点。因此正确答案是C.2个交点。3、若函数fx=2x−3⋅4−x在区间[m,n]上是增函数,且fm⋅fn<0,则fx在区间[m,n]上有()A.最大值和最小值B.最大值无最小值C.最小值无最大值D.无法确定首先,我们将函数fx=2x−3⋅4−x进行变形,利用指数的性质,有:fx=2x−3⋅122x=2x−3⋅14x进一步地,我们可以将其视为两个函数的和:y1=2x和y2=−3⋅14x对于y1=2x,由于底数大于1,所以它是一个在R上的增函数。对于y2=−3⋅14x,由于系数小于0且底数在(0,1)之间,所以它是一个在R上的增函数。但注意,由于前面有一个负号,所以整体函数y2是一个减函数。由于fx是增函数y1和减函数y2的和,且增函数的增长速度大于减函数的减少速度(因为2x的增长速度远大于14x的减少速度),所以fx在R上是一个增函数。接下来,根据题目条件,fx在区间m,n上是增函数,且fm⋅fn<0。由于fx是增函数,所以fm和fn必然异号。根据连续函数的中值定理(或零点存在性定理),我们知道在区间m,n内必然存在至少一个零点,即存在c∈m,n使得fc=0。由于fx在m,n上是增函数,所以fm是区间m,n上的最小值,fn是区间m,n上的最大值。故答案为:A.最大值和最小值。4、已知全集U={x|x∈ℕ,x<10},集合A={1,2,4,5,7},B={2,4,6,8},则(∁UA)∩B=()A.{6,8}B.{1,5,7}C.{2,4}D.{3,6,8,9}首先,全集U={x|x∈N*,x<10},即U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}。集合A={1,2,4,5,7}。根据补集的定义,集合A在全集U中的补集∁UA是全集U中所有不属于A的元素组成的集合。∁UA=U−A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}−{1,2,4,5,7}={3,6,8,9}集合B={2,4,6,8}。根据交集的定义,集合∁UA和集合B的交集∁UA∩B是同时属于∁UA和B的元素组成的集合。∁UA∩B={3,6,8,9}∩{2,4,6,8}={6,8}故答案为:A.{6,8}。5、给定函数fx=x3−3x+2,则该函数在区间[-2,2]上的最大值是多少?A.4B.6C.2D.0答案:A.4解析:为了找到函数fx=x3−3x+2在区间[-2,2]上的最大值,我们需要先计算函数的一阶导数,找出临界点,然后比较这些临界点以及区间端点处的函数值,从而确定最大值。现在我们来计算这个过程。解析继续:首先,我们求得函数fx=x3−3x+2的一阶导数为f′x=3x2−3。设置f′x=0来寻找临界点,我们得到临界点为x=−1和x=1。接着,我们计算这些临界点上的函数值:当x=−1时,f−1=4当x=1时,f1=0同时,在区间的端点有:当x=−2时,f−2=0当x=2时,f2=4比较上述函数值,可以看出在区间−2,2上的最大值为4,因此正确答案为A.4。这符合题目所给的答案。6、已知函数fx=logax(其中a>0,且a≠1)在区间[2,8]上的最大值与最小值之差为1,则底数a的值为:A.2B.12C.4D.14答案:A.2解析:对于对数函数fx=logax,当a>1时,函数单调递增;当0<a<1时,函数单调递减。题目要求的是函数在区间[2,8