《圆与圆的位置关系》教学案例在讲授圆和圆的位置关系一课中,要求学生理解圆和圆的位置关系,会用连心线与两圆半径的关系，判断两圆的位置关系。在此基础上会用坐标法判断两圆的位置关系。由于关系式多、杂如何有一种能让学生记住的好方法？一问题探究:首先，我选择了从动态角度让学生直观感受两个圆的位置关系5种。利用多媒体辅助进行,学生从直观感受五种位置的区别于联系。①②③④⑤教师给出定义学生选择相应图形:当两圆无公共点时两圆外离①或内含⑤，当两圆有一个公共点时两圆外切②或内切④,当两圆有两个公共点时两圆相交④。这个难不倒学生。如何从代数上给出理论说明，圆的两要素圆心和半径一定是研究重点,引导学生从两圆圆心距离即连心线与两圆半径的关系，判断两圆的位置关系。学生从原有认知结构出发，根据图形运动变化,从新认识图形,探索圆和圆的位置关系。很快大家得到了两圆五种位置关系的表达式：①.两圆外离：ｄ>R＋r由图可知圆心距大于两半径之和②两圆外切:d＝Ｒ+ｒ由图可知圆心距等于两半径之和③两圆相交:R－r<d<R+r由图可知圆心距大于两半径之差且小于两半径之和④两圆内切:d=R－ｒ由图可知圆心距等于于两半径之差⑤两圆内含:d＜R-r由图可知圆心距小于两半径之差教师设计图表,学生填空位置关系交点情况圆心距与半径关系外离没有交点d＞R+r外切有一个交点d＝R＋r相交有两个交点R-r＜d＜R＋ｒ内切有一个交点d＝Ｒ－ｒ内含没有交点d＜R-r外离为方便记忆,我们可以用数轴来表示这五种关系:内切内含相交外切R＋r︳R－r︳给大家五分钟时间把刚才得到的结论熟悉一下,班级里一片噪音放生大背起来，时间过后找同学提问有的偷看,有的没记住，有的背乱了。有的开始抱怨：“这么多结论又不一样,怎么记啊?”我顺势提出谁能寻找一个很好的记忆方法把这五个式子记住？“万物都有规律，找找看吧!看谁的方法好,大家分享一下。”这时的我也没有什么好方法。学生们自发讨论起来，拿笔拿本画着什么。我也在思考……过了一会一位同学笑着很不自信地说，“老师半径不是加就是减”,“好，你说得对这是一个特征,还有什么特点”,“位置关系名称带外字的圆心距大，位置关系名称带内字的圆心距小，”“噢，那带外字的半径相加，越加越大对应大于号。”顺着他的发现别的同学也有启发，“带内字的半径相减,越减越小对应小于号。”我发现这个方法很好,接着问“都成立吗？”老师我知道“特殊的带切字的是等号。”“你们的这个方法很好，老师都没想到,那还有一个连不等式怎么记？谁能帮帮老师。”又一次陷入沉思，“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边,两圆相交”“嗯,你们太聪明了，这个方法非常好,现在两分钟时间用刚才的方法把圆和圆的位置关系表达式记下来。”大家像被口诀似地,边说边念叨,我将表达式擦掉,叫学生上来填写,学生嘴里念叨着什么带内…、带外…、带切…、内小外大…。没有一个填错的,我又把关系式保留,位置关系擦掉,叫学生上来填写，完成的非常好。有的时候，学生的发现力、观察力要强于老师,老师的思维已经定势,而学生对于他们来说,知识是新的,他们的认识往往很有创意,我们应该创造这样的机会去聆听他们的见解。设计意图从学生原有的认知结构出发，根据图形运动变化，学生从新认识,探索圆与圆的位置关系,总结出圆和圆的五种位置关系规律，培养学生的动手实践能力。二应用举例例１:已知圆C1:，圆C2：,试判断圆C１与圆Ｃ2的位置关系（补充)判断圆C1，圆C2：,试判断圆Ｃ１与圆C2的位置关系，并画图说明。师生活动教师:引导不同层次学生探究,如何判断两元关系?学生:尝试用不同方法解决。法一：在同一坐标系下面画出两个圆的图形。法二：将两元化成标准方程，分别计算连心线的长与半径的和、差比较，可知（1）R—ｒ<d<Ｒ+r,所以两圆相交;（２）d=R—r,所以两圆相内切。教师：利用几何方法,方法简单,思路清楚,联想到直线和圆位置关系的代数判断方法，还有什么方法？法三:代数法:要判断两圆的位置关系,只要看他们有几个公共点,只需联立方程组判断有几组实数解即可。联立方程组,计算判别式得（1)大于零,(2)等于零,可知（１）方程组有两个不同的实根，因此两圆有两个不同的公共点,即两圆相交；(2)方程组有两个相同的实根,因此两圆有一个公共点,近一步可判知两圆内切。教师:有无必要把交点的坐标求出来？学生：本题只要判断两圆位置关系，故只需求出交点个数即可,不需要求出公共的坐标,因此，不必解方程组具体求出实数根。教师:比较着三种方法，那种简单？学生：几何法，简捷方便,事半功倍。设计意图类比直线和圆的位置关系,掌握判断两圆位置关系的方法，培养学生类比联想能力和知识