2024年南京大学强基计划数学笔试试题考试时间：6月16日14：00-15：30数学共12道题，满分100分.z1.在ABC,za,zb,zzc,则1为______数。1212z2x2y22.双曲线1，过左右焦点作平行于y轴的直线交双曲线于A,B,C,D，若ABCDa2b2为正方形，求双曲线的离心率为______。ba3.已知函数f(x)ax2bxc(ba)，对于xR，f(x)0)恒成立，求的abc最大值是______。4.过点P(4,4)作抛物线y24x的切线交y轴于点Q，焦点为F，则四边形OFPQ的面积为______。5.四面体棱长为4,7,20,22,28,t，tZ，求t的最小值是______。6.存在集合A1,2,,10的一簇子集两两交集非空，那么这簇子集最多有_____个。1111111a,b,c0,4abc，判断()()7.abcabac是否存在最大值和最小值，若存在，请求解出最大值和最小值。8.满足f(235)0的非零有理系数多项式f的最低次数为______。1009.已知(32x)100axk，a的最大项是______。xkk010.已知a1,3,7,9，b2，4，6，8，x为ab的个位数，求E(x)______。m1,m为奇数f(m)a20244k,af(a)ak11.已知m，若n满足0的最小为,m偶数0k0n1k2______。12.集合Sn1n150,n21为120的倍数，求S的元素个数为______。12024年南京大学强基计划数学笔试试题解析考试时间：6月16日14：00-15：30z1.在ABC,za,zb,zzc,则1为______数。1212z2z1答案：z为纯虚数；2解析：x2y22.双曲线1，过左右焦点作平行于y轴的直线交双曲线于A,B,C,D，若ABCDa2b2为正方形，求双曲线的离心率为______。15答案：2；c2y2(1)b2Aa2b2yAa2解析：b2acc2a2。e2e1015e2ba3.已知函数f(x)ax2bxc(ba)，对于xR，f(x)0恒成立，求的最abc大值是______。1答案：3；2解析：f(x)0恒成立，a0b24ac0(ba)b2a2b24ac,c4acb1babaaabcb2bb2ab14aca4a2bt10，所以令abat4t4abc1t26t99(t1)2t2t64tba41abc1234.过点P(4,4)作抛物线y24x的切线交y轴于点Q，焦点为F，则四边形OFPQ的面积为______。答案：6(24)41解析：l:4y2(x4)，即x2y40；所以Q(0,2)时，S436。PQOFPQ225.四面体棱长为4,7,20,22,28,t，tZ，求t的最小值是______。答案：9解析：可以判断最长边和未知边不能是对棱，然后求出t必要的范围是8,116.存在集合A1,2,,10的一簇子集两两交集非空，那么这簇子集最多有_____个。答案：29；解析：不妨记某个元素是公共元素即可。1111111a,b,c0,4abc，判断()()7.abcabac是否存在最大值和最小值，若存在，请求解出最大值和最小值。答案：无最大值，最小值为4；111()bc解析：直接将目标展开，消掉bc即得最小值和取等条件，关于a的一元二次方程在任意大时都有解，故没有最大值。8.满足f(235)0的非零有理系数多项式f的最低次数为______。答案：8；解析：每次平方去一个根号即可得到f的最低次数31009.已知(32x)100axk，a的最大项是______。xkk0答案：略；解析：同今年甲卷第13题（填空第一题）10.已知a1,3,7,9，b2，4，6，8，x为ab的个位数，求E(x)______。答案：3；解析：直接算即可m1,m为奇数f(m)a20244k,af(a)ak11.已知m，若n满足0的最小为,m偶数0k0n1k2_____