2024年南京大学强基计划数学笔试试题考试时间：6月16日14：00-15：30数学共12道题，满分100分.z1.在∆ABC,z=a,z=b,z+z=c,则1为______数。1212z2x2y22.双曲线−=1，过左右焦点作平行于y轴的直线交双曲线于A,B,C,D，若ABCD为正方形，a2b2求双曲线的离心率为______。b−a3.已知函数f(x)=ax2+bx+c(b>a)，对于∀x∈R，f(x)≥0)恒成立，求的最大值是a+b+c______。4.过点P(4,4)作抛物线y2=4x的切线交y轴于点Q，焦点为F，则四边形OFPQ的面积为______。5.四面体棱长为4,7,20,22,28,t，t∈Z，求t的最小值是______。6.存在集合A={1,2,,10}的一簇子集两两交集非空，那么这簇子集最多有_____个。11111117.a,b,c>0,4abc=++，判断(+)(+)是否存在最大值和最小值，若存在，请求解出abcabac最大值和最小值。8.满足f(2+3−5)=0的非零有理系数多项式f的最低次数为______。1009.已知(3+2x)100=∑axk，{a}的最大项是______。xkk=010.已知a∈{1,3,7,9}，b∈{2，4，6，8}，x为ab的个位数，求E(x)=______。m−1,m为奇数∑2024k11.已知f(m)=m，若a=4,a=f(an)满足a=0的最小k为______。,m偶数0k=0n+1k2{}12.集合S=n1≤n≤150,n2−1为120的倍数，求S的元素个数为______。2024年南京大学强基计划数学笔试试题解析考试时间：6月16日14：00-15：30z1.在∆ABC,z=a,z=b,z+z=c,则1为______数。1212z2z答案：1为纯虚数；z2解析：x2y22.双曲线−=1，过左右焦点作平行于y轴的直线交双曲线于A,B,C,D，若ABCD为正方形，a2b2求双曲线的离心率为______。1+5答案：；2c2y2=(−1)b2Aa2b2∴y=Aa2解析：∴b2=ac=c2−a2。∴e2−e−1=01+5∴e=2b−a3.已知函数f(x)=ax2+bx+c(b>a)，对于∀x∈R，f(x)≥0恒成立，求的最大值是a+b+c______。1答案：；3解析：f(x)≥0恒成立，∴a>0→∆=b2−4ac≤0(b>a)b2∴a2<b2≤4ac,∴c≥4acb−1b−ab−a∴≤=aa+b+cb2bb2a+b+1++4aca4a2b令t=−1>0，所以ab−at4t4===a+b+c1t2+6t+99(t+1)2+t+2t++64tb−a41∴≤=a+b+c1234.过点P(4,4)作抛物线y2=4x的切线交y轴于点Q，焦点为F，则四边形OFPQ的面积为______。答案：6(2+4)41解析：l:4y=2(x+4)，即x−2y+4=0；所以Q(0,2)时，S=−×4×3=6。PQOFPQ225.四面体棱长为4,7,20,22,28,t，t∈Z，求t的最小值是______。答案：9解析：可以判断最长边和未知边不能是对棱，然后求出t必要的范围是(8,11)6.存在集合A={1,2,,10}的一簇子集两两交集非空，那么这簇子集最多有_____个。答案：29；解析：不妨记某个元素是公共元素即可。11111117.a,b,c>0,4abc=++，判断(+)(+)是否存在最大值和最小值，若存在，请求解出abcabac最大值和最小值。答案：无最大值，最小值为4；111解析：直接将目标展开，消掉(+)即得最小值和取等条件，关于的一元二次方程在bc任意大bca时都有解，故没有最大值。8.满足f(2+3−5)=0的非零有理系数多项式f的最低次数为______。答案：8；解析：每次平方去一个根号即可得到f的最低次数1009.已知(3+2x)100=∑axk，{a}的最大项是______。xkk=0答案：略；解析：同今年甲卷第13题（填空第一题）10.已知a∈{1,3,7,9}，b∈{2，4，6，8}，x为ab的个位数，求E(x)=______。答案：3；解析：直接算即可m−1,m为奇数∑2024k11.已知f(m)=m，若a=4,a=f(an)满足a=0的最小k为,m偶数0k=0n+1k2__