北京大学2024年强基计划笔试数学试卷202419i201.求i1模7的余数.2.求sin36sin3114sin3126.1,2,3,4,5,6,7,812,23,34,45,56,67,783.求的排列的个数，使得排列中没有出现连续的.1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，4.已知数列，求第2024项模5的余数.a，a，a，aa1，2，310aaaa205.求四元组1234的个数，使得i，且1234.0,2π2cosxsinx6.求上方程的解的个数.xex411ex1x4107.求R上方程的解的个数.x213x1108.求R上方程的解的个数.89.在体积为1的正方体内取一个点，过这个点作三个平行于正方体面的平面，将正方体分为个长方体，求这些小18长方体中体积不大于的长方体个数的最小值.3FPF，PFPF32F，F12312S10.在离心率为12PPFF.的椭圆中，是两个焦点，是椭圆上一点，且，求12SnnSn1Snn11.用表示正整数的数码和，求满足与均为5的倍数的的最小值.nnn0nm10m10m12.称正整数为好数,当它各位数字均不相同，且对于所有正整数满足，都有，求最大好数的范围（）0,10001000,20002000,3000A.B.C.D.以上均不对ABCcosAcosBcosC13.在中，求的最小值或下确界.1bc2aABCBC3bc14.在中，若边上的高为，求的范围.ABCa2，b2，c22，DBC2DCDB15.在中，若在上，比较AD2与的大小.ABCOBOC2BACOCOBOC316.在中，若为形外一点，满足，线段与线段AB交于D，且，OD2，求BDAD.ABCBCBAC，ADCABCC17.在中，若D在上，AD平分的内心与的外心重合，求.ABCBCBAC,ABAD3,CD2ABC18.在中，若D在上，AD平分，求的周长.ABC2sinAsinBsinC19.在中，求的最大值的取等条件.1aan1nxRxxxxxa2a20.，用表示不超过的最大整数，并用表示小数部分，已知：1，n，2024ak求k1.北京大学2024年强基计划笔试数学试卷202419i201.求i1模7的余数.【答案】1【分析】只要注意到19与20的相邻关系，容易将高斯取整写成普通的计算式，剩下就只需要对幂次进行常规的同余计算.【详解】因为19iimod20，所以202419i202419i10122020i1i119192024142018191921920221192141mod7，2018上述中用到1961mod7，19212018，所以20187|1920221.2.求sin36sin3114sin3126.335【答案】1631sin3sin(2)sin3sinsin3cos3cos(2)【分析】由，化简得到44，，化简得到cos34cos33cos，从而将原式化简为31sin36sin3114sin3126(sin6sin114sin126)(sin18sin342sin378)3sin1844，利用sin36cos54，求出sin18，即可求解.【详解】因为sin3sin(2)sincos2cossin2sin(12sin2)2sin(1sin2)3sin4sin3，31sin3sinsin3从而得到：44，31sin36sin3114sin3126(sin6sin114sin126(sin18sin342sin378)则44由于sin6sin114sin126sin6sin(1206)sin(1206)sin6sin60，sin18sin342sin378sin18sin(36018)sin(360+18)3sin18，3sin36