北京大学2024年强基计划笔试数学试题考试时间2024年6月30日上午9：00-11：00以下为理科数学试题，共20题.1.求∑202419ᵅᵅ模7的余数.ᵅᵅ=1202.求sin36∘−sin3114∘+sin3126∘.3.求1,2,…,8的排列的个数,使得排列中没有出现连续的12,23,…,78.4.已知数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…求第,2024项模5的余数.(,ᵄᵄ,ᵄᵄ,ᵄᵄ)的个数,使得ᵄᵄ∈{1,2,3}且,10<ᵄᵄᵄᵄᵄᵄᵄᵄ<20.5.求四元组ᵄᵄ1234ᵅᵅ12346.求(0,2ᵰᵰ]上方程2cosᵆᵆ=sinᵆᵆ的解的个数.7.求ℝ上方程ᵆᵆᵅᵅᵆᵆ4−1−1+(ᵅᵅᵆᵆ−1)(ᵆᵆ4−1)=0的解的个数.8.求ℝ上方程ᵆᵆ2−13[ᵆᵆ]+11=0的解的个数.9.在体积为1的正方体内取一个点,过这个点作三个平行于正方体面的平面,将正方体分为8个长方体,求这些小长方体中体积不大于1的长方体个数的最小值.810.在离心率为√3的椭圆中,ᵃᵃ,ᵃᵃ是两个焦点,ᵄᵄ是椭圆上一点,且∠ᵃᵃᵄᵄᵃᵃ=21212ᵰᵰ,|ᵄᵄᵃᵃ|−|ᵄᵄᵃᵃ|=3求,ᵄᵄ.312△ᵄᵄᵃᵃ1ᵃᵃ211.用ᵄᵄ(ᵅᵅ)表示正整数ᵅᵅ的数码和,求满足ᵄᵄ(ᵅᵅ+1)与ᵄᵄ(ᵅᵅ)均为5的倍数的ᵅᵅ的最小值.112.称正整数ᵅᵅ为好数,当它各位数字均不相同,且对于所有正整数ᵅᵅ满足ᵅᵅ>0,10ᵅᵅ都有ᵅᵅ∣ᵅᵅ,求最大的好数的范围.选项为((0,1000),(1000,2000),(2000,3000).)10ᵅᵅ13.在△ᵃᵃᵃᵃᵃᵃ中,求cosᵃᵃcosᵃᵃcosᵃᵃ的最小值.14.在△ᵃᵃᵃᵃᵃᵃ中,若ᵃᵃᵃᵃ边上的高为1ᵄᵄ求,(ᵄᵄ+ᵅᵅ)2的范围.3ᵄᵄᵅᵅ15.在△ᵃᵃᵃᵃᵃᵃ中,若ᵄᵄ=2,ᵄᵄ=√2,ᵅᵅ=2√2,ᵃᵃ在ᵃᵃᵃᵃ上,比较ᵃᵃᵃᵃ2与2ᵃᵃᵃᵃ×ᵃᵃᵃᵃ的大小.16.在△ᵃᵃᵃᵃᵃᵃ中,若ᵄᵄ为形外一点,满足∠ᵃᵃᵄᵄᵃᵃ=2∠ᵃᵃᵃᵃᵃᵃ线段,ᵄᵄᵃᵃ与线段ᵄᵄᵃᵃ交于ᵃᵃ,且ᵄᵄᵃᵃ=ᵄᵄᵃᵃ=3,ᵄᵄᵃᵃ=2求,ᵃᵃᵃᵃ×ᵃᵃᵃᵃ.17.在△ᵃᵃᵃᵃᵃᵃ中,若ᵃᵃ在ᵃᵃᵃᵃ上,ᵃᵃᵃᵃ平分∠ᵃᵃᵃᵃᵃᵃ,△ᵃᵃᵃᵃᵃᵃ的内心与△ᵃᵃᵃᵃᵃᵃ的外心重合,求∠ᵃᵃ.18.在△ᵃᵃᵃᵃᵃᵃ中,若ᵃᵃ在ᵃᵃᵃᵃ上,ᵃᵃᵃᵃ平分∠ᵃᵃᵃᵃᵃᵃ,ᵃᵃᵃᵃ=ᵃᵃᵃᵃ=3,ᵃᵃᵃᵃ=2,求△ᵃᵃᵃᵃᵃᵃ的周长.19.在△ᵃᵃᵃᵃᵃᵃ中,求2sinᵃᵃ+sinᵃᵃ+sinᵃᵃ的最小值.20.ᵄᵄ=√2, ᵄᵄ=[ᵄᵄ]+1求,∑2024ᵄᵄ.1ᵅᵅ+1ᵅᵅᵅᵅ=1ᵅᵅ{ᵄᵄᵅᵅ}2北京大学2024年强基计划笔试数学试题解析345678