西安交通大学硕士研究生2000年入学考试《数学分析》试题()用“”或“”语言,在肯定的意义下表述下列各概念:⑴在的某邻域内有定义,但在处不连续.⑵在内连续,但在内不一致连续.⑶对于每个收敛,但在内关于不一致收敛.⑷在上有界,但在上不可积.解:⑴定义:设函数在的某邻域内有定义.若,使得,,尽管满足,但,则称函数在处不连续.⑵定义:设函数在内连续.若,使得,,尽管满足,但,则称函数在内不一致连续.⑶定义:设对于每个收敛.若,使得,和,尽管满足,,但,则称广义积分在内关于不一致收敛.⑷定义:设函数在上有界.若,使得,都存在的分割,尽管满足,但,则称函数在上不可积.()按要求讨论下列问题:⑴设试讨论在处的连续性及可微性.解:ⅰ>因为,又因,所以,因此在处连续.ⅱ>由于因为不存在,所以不存在.又因,,所以,故不存在,从而在不连续.同理可得在不连续.即函数的两个偏导数在原点都不连续.ⅲ>因为又因,.所以,即,从而函数在原点可微,且.⑵设,试讨论的连续性,可导性.并在可导处求.解:记,.则与在上连续.因为(其中),有.而无穷积分收敛,所以含参变量广义积分关于在上一致收敛.因为,有.而无穷积分收敛,所以含参变量广义积分关于在上一致收敛.并且.,取,则,ⅰ>因为关于在上一致收敛,且在上连续,所以在上连续.从而在处连续,由的任意性得在上连续.ⅱ>因为在上关于可偏导,且与关于在上一致收敛,因此可以在积分号下求导:,.由此得计算下列各题:⑴设在上连续,且以为周期,又,试以的Fourier系数表示的Fourier系数.解:记,,,,.则..⑵设为的上半表面上侧,计算.第二型曲面积分计算公式：若曲面的方程为:,则,上侧取“”,下侧取“”.解:曲面可表为,.由于,所以.()证明下列各题:⑴设,,则,使得当时,有.证明:ⅰ>因为,所以,使得当时,有.又因当时,有.所以当时,有,即.ⅱ>因为,所以,使得当时,有.又因当时,有.所以当时,有,即.ⅲ>取,则当时,有.因此当时,有(等号仅当时成立).⑵证明:,函数项级数在内处处收敛,但在内非一致收敛.证明:ⅰ>因为,有,而收敛,所以在内处处收敛.ⅱ>,所以在内非一致收敛于零,因此在内非一致收敛.⑶用平面点集的致密性定理(聚点原理)证明:有界闭域上的连续函数有界.又:若不闭,你的证明会在何处出问题?证明:ⅰ>设在有界闭域上的连续.假若在上无界,则,,使得.特别,,使得.这样得点列且.因为为有界闭域,所以存在收敛子列,设,则.又因在处连续,所以,但这与矛盾.ⅱ>若不闭,证明会在上出问题.⑷设ⅰ>在上一致连续,ⅱ>广义积分收敛.证明.又若条件ⅰ>改为在上连续,条件ⅱ>不变,结论是否成立?若不成立,请举例具体说明之.证明:,由于是上的一致连续,因此(不妨设),使得当且时,有;又由收敛的准则知:对,,使得当时,有;当时,取使,且,可估计得:,因此当时,有,即.但将条件改变结论有可能不成立.例如收敛,被积函数在）上连续，而不存在.