西安交通大学硕士研究生1999年入学考试《数学分析》试题下边给出一组函数,请按照每题要求,从中列举出一个,并简要说明你的列举是正确的.():(A)(B);(C);(D)(E)(F);(G);(H)(I)(J)问题:⑴在上处处有定义,但处处极限不存在的是(A).事实上:,根据有理数与无理数的稠密性知:分别存在有理数列与无理数列,使得,.而,,因此不存在.⑵在上有唯一连续点的是(B).事实上:因为在上有界,,所以,从而在处连续.但且,根据有理数与无理数的稠密性知:分别存在有理数列与无理数列,使得,.而,,因此不存在.从而在处不连续.⑶在上仅有唯一可导点的是(C).事实上:因为,所以在处可导且.但且,根据有理数与无理数的稠密性知:分别存在有理数列与无理数列,使得,.而,,因此不存在.从而在处不连续,因此在处不可导.⑷任意一点的任意邻域内均有间断点,且任一间断点的任意邻域内均有连续点的是(D).事实上由于,有.所以在有理点处不连续,在无理点处不连续.⑸在处的两个累次极限均存在,但二重极限不存在的是(H).事实上,.而,,所以不存在.⑹在处的两个累次极限均不存在,但二重极限存在的是(F).事实上因为不存在,,所以不存在,因此不存在.同理也不存在.因为,而,所以.⑺在处的偏导与存在但不连续,而在点可微的是(I).由于因为不存在,所以不存在.又因,,所以,故不存在,从而在不连续.同理可得在不连续.即函数的两个偏导数在原点都不连续.因为又因,.所以,即,从而函数在原点可微,且.⑻在处任意阶可导,但Taylor级数不收敛于它本身的是(E).事实上由于,,所以在处的Taylor级数,.()讨论下列各题:⑴设试讨论的取值范围,使得在处ⅰ>连续;ⅱ>可导;ⅲ>导函数连续.解:要使有意义,必须,其中为整数,为正奇数,且与互质.下面在此限制条件下进行讨论.ⅰ>当时,不存在.当时,因为,,所以.因此当时,在处连续.ⅱ>当时,因为,所以在处可导.ⅲ>由于所以当时,的导函数连续.⑵设,.试分别讨论Rolle定理的条件与结论对它们是否成立.解:ⅰ>由于,所以①在处不连续,但在上连续.②在内可导且.③.因此在上不满足Rolle定理的条件,同时结论也不成立.ⅱ>由于,所以①在上连续.②在内可导且.在处不可导.③.因此在上不满足Rolle定理的条件,同时结论也不成立.⑶设试讨论的连续性.解:仅在处连续().事实上:ⅰ>当()时,由于,所以，从而.ⅱ>当()时,根据有理数与无理数的稠密性知:分别存在有理数列与无理数列,使得,.而,,因此不存在.从而在处不连续.⑷设,讨论其在内的收敛性,一致收敛性及内闭一致收敛性.解:ⅰ>当时,,因此在内的收敛于.ⅱ>因为(),所以在内不一致收敛于零.ⅲ>对任意的,因为(),所以在上一致收敛于零,因此在上内闭一致收敛于.设为上的可积函数,应如何延拓到才能使其在内的Fourier级数具有形式.解：假设延拓后的函数为其中都在相应的区间上可积.则在上是偶函数,因此,.对于积分,令,则,当时,当时.于是从而,因此,当时,有,所以,取,则在内的Fourier级数具有形式.()计算含参变量广义积分:()之值.(要求写出理论依据)解:记,.因为,有.而无穷积分收敛,所以含参变量广义积分关于在上一致收敛.因为,有.而无穷积分收敛,所以含参变量广义积分关于在上一致收敛.因此可以在积分号下求导:,即,积分得,去掉对数得.又,所以.因此.()试求矢径穿过曲面()的流量.解:设..则:为封闭曲面.根据高斯公式有.而.故所求流量为.()设,,.为不包含而包含与的有限平面区域⑴求出函数组的Jacobi矩阵;⑵证明在内任一点处与函数独立,而函数,,函数相关;⑶证明不存在函数关系在内处处成立(即不存在一个统一适用的函数关系);⑷结论⑶与结论“,,在内函数相关”是否矛盾，给出你的解释.证明:⑴函数组的Jacobi矩阵为.⑵由于在内,所以在内任一点处与函数独立.令,则,因此,,函数相关.⑶证明不存在函数关系在内处处成立(即不存在一个统一适用的函数关系);⑷结论⑶与结论“,,在内函数相关”是否矛盾，给出你的解释.