PAGEPAGE13第二部分专题三类型1与圆有关的角平分线成绩1．(2018·衡阳)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC分别交AC，AB的延伸线于点E，F.(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)若AC＝4，CE＝2，求eq\o\ac(BD,\s\up10(︵))的长度．(结果保留π)(1)证明：如答图，连接OD，答图∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA．∵AD平分∠EAF，∴∠DAE＝∠DAO，∴∠DAE＝∠ADO，∴OD∥AE.∵AE⊥EF，∴OD⊥EF，∴EF是⊙O的切线．(2)解：如答图，作OG⊥AE于点G，则AG＝CG＝eq\f(1,2)AC＝2，∠OGE＝∠E＝∠ODE＝90°，∴四边形ODEG是矩形，∴OA＝OD＝GE＝CG＋CE＝2＋2＝4，∠DOG＝90°，在Rt△AOG中，∵OA＝2AG，∴∠AOG＝30°，∴∠BOD＝60°，则eq\o\ac(BD,\s\up10(︵))的长度为eq\f(60·π·4,180)＝eq\f(4π,3).2．(2018·赤峰)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，点O在AB上，⊙O经过A，D两点，交AC于点E，交AB于点F.(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径是2cm，E是eq\o\ac(AD,\s\up10(︵))的中点，求暗影部分的面积．(结果保留π和根号)(1)证明：如答图，连接OD，答图∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA．∵AD平分∠BAC，∠OAD＝∠DAC，∴∠ODA＝∠DAC，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，∴OD⊥BC，∴BC是⊙O的切线．(2)解：连接OE，OE交AD于K，∵eq\o\ac(AE,\s\up10(︵))＝eq\o\ac(DE,\s\up10(︵))，∴OE⊥AD．∵∠OAK＝∠EAK，AK＝AK，∠AKO＝∠AKE＝90°，∴△AKO≌△AKE(ASA)，∴AO＝AE＝OE，∴△AOE是等边三角形，∴∠AOE＝60°，∴S暗影＝S扇形OAE－S△AOE＝eq\f(60·π·22,360)－eq\f(\r(3),4)×22＝eq\f(2π,3)－eq\r(3).3．(2018·咸宁)如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延伸线于点E.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若AB＝2eq\r(5)，BC＝eq\r(5)，求DE的长．(1)证明：如答图，连接OD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°.答图∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝45°，∴∠AOD＝90°.∵DE∥AC，∴∠ODE＝∠AOD＝90°，∴DE是⊙O的切线．(2)解：∵在Rt△ABC中，AB＝2eq\r(5)，BC＝eq\r(5)，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝5，∴OD＝eq\f(5,2).∵DE∥AC，∴∠CEG＝∠ACB，∴tan∠CEG＝tan∠ACB，∴eq\f(CG,GE)＝eq\f(AB,BC)，即eq\f(2.5,GE)＝eq\f(2\r(5),\r(5))，解得GE＝eq\f(5,4)，∴DE＝DG＋GE＝eq\f(15,4).4．(2018·莱芜)如图，已知A，B是⊙O上两点，△OAB外角的平分线交⊙O于另一点C，CD⊥AB交AB的延伸线于D．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)E为eq\o\ac(AB,\s\up10(︵))的中点，F为⊙O上一点，EF交AB于G，若tan∠AFE＝eq\f(3,4)，BE＝BG，EG＝3eq\r(10)，求⊙O的半径．(1)证明：连接OC，如答图，答图∵BC平分∠OBD，∴∠OBC＝∠CBD．∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OCB＝∠CBD，∴OC∥AD，而CD⊥AB，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．(2)解：连接OE交AB于H，如答图，∵E为eq\o\ac(AB,\s\up10(︵))的中点，∴OE⊥AB．∵∠ABE＝∠AFE，∴tan∠ABE＝tan∠AFE＝eq\f(3,4)，∴在Rt△BEH中，tan∠HBE＝eq\f(EH,BH)＝eq\f(3,4)，∴设EH＝3x，BH＝4x，∴BE＝5x.∵BG＝BE＝5x，∴GH＝x，在Rt△EHG中，x2＋(3x)2＝