1.复数列的极限(jíxiàn)2.级数的概念1.复数(fùshù)列的极限2.级数(jíshù)的概念例1定理4.3解例31.幂级数的概念(gàiniàn)2.收敛定理3.收敛圆与收敛半径4.收敛半径的求法5.幂级数的运算和性质1.幂级数的概念(gàiniàn)若级数(1)在D内处处收敛(shōuliǎn)，其和为z的函数2.收敛(shōuliǎn)定理证明(zhèngmíng)3.收敛(shōuliǎn)圆与收敛(shōuliǎn)半径(i)幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外部发散，在圆周上可能(kěnéng)收敛可能(kěnéng)发散，具体问题要具体分析。4.收敛(shōuliǎn)半径的求法例1例2求下列幂级数的收敛半径并讨论收敛圆周(yuánzhōu)上的情形:5.幂级数的运算(yùnsuàn)和性质---幂级数的代换(复合(fùhé))运算分析(fēnxī)运算1.泰勒展开(zhǎnkāi)定理2.展开(zhǎnkāi)式的唯一性3.简单初等函数的泰勒展开(zhǎnkāi)式1.泰勒(tàilè)(Taylor)展开定理定理（泰勒(tàilè)展开定理）---(*)得证！2.展开式的唯一性3.简单(jiǎndān)初等函数的泰勒展开式上述求sinz,cosz展开式的方法(fāngfǎ)即为间接法.例2把下列函数(hánshù)展开成z的幂级数:定理(dìnglǐ)/1.函数展开(zhǎnkāi)成双边幂级数2.展开(zhǎnkāi)式的唯一性由§4.3知,f(z)在z0解析，则f(z)总可以(kěyǐ)在z0的某一个圆域z-z0<R内展开成z-z0的幂级数。若f(z)在z0点不解析，在z0的邻域中就不可能展开成z-z0的幂级数，但如果在圆环域R1<z-z0<R2内解析，那么，f(z)能否用级数表示呢？由此推想，若f(z)在R1<z-z0<R2内解析,f(z)可以展开成级数，只是这个级数含有负幂次项,即本节将讨论在以z0为中心(zhōngxīn)的圆环域内解析的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数和计算留数的基础。1.双边(shuāngbiān)幂级数级数(2)是一幂级数，设收敛(shōuliǎn)半径为R2，则级数在z-z0=R2内收敛(shōuliǎn)，且和为s(z)+;在z-z0=R2外发散。1.函数展开(zhǎnkāi)成双边幂级数证明(zhèngmíng)由复连通域上的Cauchy积分公式：式(*1),(*2)中系数cn的积分(jīfēn)分别是在k2，k1上进行的，在D内取绕z0的简单闭曲线c，由复合闭路定理可将cn写成统一式子：2.展开式的唯一性由唯一性，将函数展开成Laurent级数，可用间接法。在大都数情况，均采用这一简便的方法求函数在指定(zhǐdìng)圆环域内的Laurent展开式，只有在个别情况下，才直接采用公式(5')求Laurent系数的方法。例2例4解:/注意(zhùyì)首项(2)对于有理函数的洛朗展开式，首先把有理函数分解成多项式与若干个最简分式之和，然后(ránhòu)利用已知的几何级数，经计算展成需要的形式。解(1)在(最大的)去心邻域(línyù)(2)在(最大的)去心邻域(línyù)感谢您的观看(guānkàn)！内容(nèiróng)总结