知识梳理知识梳理1.向量的运算：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).向量的线性运算向量的数量积运算2.两个定理(1)平面向量基本定理①定理：如果e1，e2是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的向量a，实数λ1，λ2，使a＝.②基底：把的向量e1，e2叫做表示这一平面内向量的一组基底.(2)向量共线定理如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝.3.向量的平行与垂直a，b为非零向量，设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，1.平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.()提示平面内不共线的两个向量才可以作为一组基底.2.若向量共线，则A，B，C，D四点在同一直线上.()提示也可能AB∥CD.3.若a·b＝0，则a＝0或b＝0.()4.若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角.()提示当a，b同向共线时，a·b>0，但a和b的夹角为0.当a，b反向共线时，a·b<0，但a和b的夹角为π.题型探究反思与感悟解答例2已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，且|ka＋b|＝|a－kb|(k>0).(1)用k表示数量积a·b；(2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角θ的大小.反思与感悟(1)若点A，B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件；(2)若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值.解建立如图所示的平面直角坐标系，设A(0，a)，C(c，0)，其中a>0，c>0，反思与感悟答案解析由题意，得∠AOC＝90°，故以O为坐标原点，OC，OA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，达标检测111答案由x⊥y，得[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝0，－ka2＋ta·b－k(t2－3)a·b＋t(t2－3)b2＝0，即－4k＋t3－3t＝0，1.由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，它的运算也因为这两种不同的表示方法而有两种方式，因此向量问题的解决，理论上讲总共有两个途径，即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题.2.向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧.