高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料关注公众号“品数学”，获取更多数学资料包考点五函数的性质——单调性、奇偶性、周期性知识梳理1．函数的单调性(1)单调函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调增函数．如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调减函数．从图象来看，增函数图象从左到右是上升的，减函数图象从左到右是下降的，如图所示：（2）单调性与单调区间如果一个函数在某个区间M上是单调增函数或是单调减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区间)．2．函数的奇偶性(1)奇函数、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．(2)判断函数的奇偶性的步骤与方法判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是：①考察定义域是否关于原点对称．②考察表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)：若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数；若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，既非奇非偶函数．3．函数的周期性(1)周期函数的概念：对于函数y＝f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，则称y＝f(x)为周期函数，非零常数T叫做函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期．(3)一般地，如果T为函数f(x)的周期，则nT（n∈Z）也是函数f(x)的周期，即有f(x＋nT)＝f(x)．(4)最小正周期是指是函数值重复出现的自变量x要加上的最小正数，这个正数是相对x而言的．并不是所有的周期函数都有最小正周期，比如常数函数f(x)＝C（C为常数）就没有最小正周期．典例剖析题型一函数单调性的判断例1下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是________.(填序号)y＝eq\r(x＋1)②y＝(x－1)2③y＝2－x④y＝log0.5(x＋1)答案①解析由基本初等函数的性质得，选项②中的函数在(0，1)上递减，选项③，④中的函数在(0，＋∞)上为减函数，选①.变式训练下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是________.(填序号)①f(x)＝xeq\s\up6(\f(1,2))②f(x)＝x3③f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)④f(x)＝3x答案④解析f(x)＝xeq\s\up6(\f(1,2))，f(x＋y)＝(x＋y)eq\s\up6(\f(1,2))≠xeq\s\up6(\f(1,2))·yeq\s\up6(\f(1,2))，不满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，①不满足题意．f(x)＝x3，f(x＋y)＝(x＋y)3≠x3·y3，不满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，②不满足题意．f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，f(x＋y)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x＋y)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(y)，满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，但f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)不是增函数，③不满足题意．f(x)＝3x，f(x＋y)＝3x＋y＝3x·3y，满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)，且f(x)＝3x是增函数，④满足题意．解题要