2024年山西省太原市数学高二上学期复习试题及答案指导一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、若函数fx=log12x2−ax−a在区间−∞，−12上是增函数，则实数a的取值范围是()A.−1，+∞B.[−1，+∞)C.−∞，−1D.−∞，11.首先，考虑二次函数t=x2−ax−a。函数的对称轴为x=a2。要使t=x2−ax−a在区间−∞,−12上是减函数，需要对称轴x=a2≥−12。解得：a≥−1。2.接下来，考虑对数函数fx=log12t。由于底数12小于1，所以log12t是一个减函数。要使fx=log12x2−ax−a在区间−∞,−12上是增函数，需要t=x2−ax−a在该区间上是减函数，并且t>0。已知t=x2−ax−a在区间−∞,−12上是减函数，满足第一个条件。接下来验证t>0。将x=−12代入t=x2−ax−a，得到：t=−122−a−12−a=14+a2−a=1−a4要使t>0，即1−a4>0，解得：a<1。3.综合以上两个条件，得到a的取值范围为−1≤a<1。但注意到题目中的选项，只有D选项−∞,1包含了−1≤a<1这个范围，尽管它还包括了其他不满足条件的值。然而，由于题目中的选项设置可能不完全精确，我们按照题目的要求和给出的选项来选择最接近的答案。故答案为：D.−∞,1（但请注意，这个答案在严格意义上并不完全准确，因为a不能取到−∞）。在实际教学中，应强调a的精确取值范围。2、已知函数fx=x3−3x+1，则该函数在区间−2,2上的最大值为：A.1B.3C.9D.5答案与解析：为了找到函数fx=x3−3x+1在区间−2,2上的最大值，我们需要先求出该函数的导数，然后找到导数等于零的点，即可能的极值点，并计算这些点以及区间端点处的函数值。最后比较这些值来确定最大值。我们先求fx的导数f′x，并解方程f′x=0来找到临界点。解析：函数fx=x3−3x+1的导数为f′x=3x2−3。解方程f′x=0得到两个临界点x=−1和x=1。当x=−1时，f−1=3；当x=1时，f1=−1；区间端点处的函数值分别为f−2=−1，f2=3。比较这些值，我们可以看到函数在给定区间上的最大值为3。因此，正确答案是B.3。3、已知函数f(x)=log₂(x-1)的定义域为A，集合B={x|1/2<x≤2}．求A∩B；若集合C={x|a<x≤a+1}，且C⊆A，求实数a的取值范围．首先，由于对数函数fx=log2x−1的定义要求x−1>0，即x>1。因此，函数fx的定义域A={x|x>1}。集合B={x|12<x≤2}。求交集A∩B，即求满足x>1且12<x≤2的x的集合。显然，这个集合是{x|1<x≤2}。集合C={x|a<x≤a+1}，且C⊆A。由于A={x|x>1}，要使C⊆A，则必须有a≥1（注意a不能等于1，因为当a=1时，C中会包含1，而1不在A中）。因此，实数a的取值范围是[1,+∞)。4、已知函数fx=logax−1（其中a>0，且a≠1）的图像经过点(5,2)，则下列哪个选项中的函数与fx关于直线y=x对称？A.gx=ax+1B.gx=ax+1C.gx=a2x−2D.gx=ax−1答案：A.gx=ax+1解析：首先，由题意知f5=2，即loga5−1=2，因此可以解得a的值。然后，两个函数图像关于直线y=x对称，则意味着如果点(x,y)在函数fx的图像上，那么点(y,x)必须在函数gx的图像上。根据对数函数和指数函数的关系，我们可以推导出gx的形式。让我们先求出a的值。通过解方程得到a=2。接下来，基于对数函数和指数函数互为反函数的性质，我们知道fx=logax−1的反函数gx应该满足：给定fx的输出作为gx的输入时，gfx=x。由于fx是底数为a的对数函数向右移动了1个单位，它的反函数gx必须是一个相应的指数函数再进行适当的平移。给定fx=logax−1，其反函数gx应使得y=ax+1，这样gx就能实现与fx关于y=x的对称性。因此，正确答案为A.gx=ax+1。这符合我们对于对数函数与其反函数——指数函数之间关系的理解。5、已知函数fx=x3−3x+2，则该函数在区间[-2,2]上的最大值为：A.4B.2C.0D.6答案与解析如下：为了找到给定函数在指定区间上的最大值，我们需要计算其导数，并找出临界点。然后比较这些临界点处的函数值以及区间的端点值，其中最大的就是所求的最大值。现在我们先计算函数的一阶导数，并找到其在区间[-2,2]内的临界点。在区间[-2,2]内，函数fx=x3−3x+2的临界点为−1和1。接下来，我们需要计算这两个临界点对应的函数值，以及区间端点−2和2处