第3节连续型随机变量ìk(4x-2xx2)，0<<2,例：设X的密度函数为：fx()=í连续型随机变量的密度函数î0,,其它◆定义：设X的分布函数为Fx()。若存在另一定义在(-¥,)+¥求：(1)常数k的值；(2)PX(>1)。（答案：3/8，1/2）x上的非负函数fx()，满足：F(x)=f()tdt，则称X是个ò-¥ì1-(1+³xx)e-x，0,连续型随机变量，称fx()为X的（概率）密度函数。例：设X的分布函数为：Fx()=í+¥î0,x<0,◆性质：①fx()0³②f(x)1dx=③Fx()处处连续ò-¥求：(1)PX(³1)；(2)X的密度函数fx()。④F¢(x)=fx()(在后者的连续点处成立)⑤PX()==c0解：(1)P(XF³1)=1-(1)=1-(1-=2ee--11)2。（c为任一常数）⑥P()XÎ=If()xdx（I为任一区间）òIì[1-(10+x)ee--xx]¢=>xx()(2)f(x)==Fx¢()í◆说明：(1)可以认为，X可能的取值范围是fx()的非零区间。î0¢=<00()x当fx()在c点处连续时，fc()的大小反映了X落在c点或其当x=0时，可以指定fx()0=，即可以将“＞”换成“≥”。附近的可能性大小。(2)密度函数是不唯一的。若fx()是X的密度函数，将其在有限个点处的函数值改为其它非负值，所得注：若X的分布函数为Fx()，则：①P(X<=a)Fa()；的函数仍是X的密度函数。②P(X³a)=-1Fa()；③P(a£X<b)=-F(b)Fa()。若X为连续型，则“＜”与“≤”、“＞”与“≥”可以不加区别。例：课本P.75例15、P.76例16：请自己看。ìcosx，xÎ[ab,]均匀分布例：当[ab,]=时，函数fx()=íî0，xÏ[ab,]ì1ï,xÎ[ab,]可以作为一个连续型随机变量的密度函数？◆定义：设X为连续型随机变量，若fxX()=íba-，îï0,xÏ[ab,](a)é0,ppù(b)é,ù(cd)0,(),éù37êúêppú[]êúppë2ûë2ûëû24则称X服从于区间[ab,]上的均匀分布，记为X~U[ab,]。解：要使fx()为密度函数，就必须：◆含义：X~U[ab,]，也就是X随机、等可能地落在[ab,]内。①，即：在区间上，。fx()0³[ab,]cos0x³故可以从几何概型的角度理解均匀分布。故可排除选项()b、()c。+¥b◆结论：若X~U[ab,]，而[c,d]Ì[ab,]，②òf(x)1dx=，即：òcosxdx=sinba-=sin1。dc--¥a则：P()c£Xd£=。P.77例17：请自己看。故可排除选项()d。∴本题应选择()a。ba-概率统计讲义2例：设XU~[0,6]，则方程t+2tXX+5-=40有实根的其中“＜”与“≤”不需区别，“＞”与“≥”也不需区别。2概率是：P{(2XX)-4(5-³40)}=P()XX£³14或特别地，若XN~()0,1，则P(a<X<b)=Φ(b)-Φ(a)。121=P(0£X£1)+PX()46££=+=。2662用公式可证“正态分布的3σ原理”：若XN~(ms,)，则X以99.74%的概率落入以μ为中心，3σ为半径的区间内。指数分布典型例题：课本P.81—83例18、19、20。ìle-lx,x>0,设X是个连续型随机变量，若fxX()=í其中l为用下一节中的“分布函数法”可以证明：î0,x£0,定理：设a、b为常数且a¹0，XN~(m,ss2)(>0)，大于0的常数，则称X服从于参数为l的指数分布，记为XE~()l。X-m则：①aX++b~N(amsba,)22。②~N(0,1)。s正态分布上述定理表明，正态随机变量的线性函数仍为正态随机变量。()x-m2-12第②条当中的运算称为正态随机变量的标准化。若X为连续型随机变量，f(x)=Îe2s()xR，X2ps2其中μ与σ为已知常数且σ＞0，则称X服从于参数为ms,的第4节随机变量的函数的分布正态分布，记为XN~(ms,)2。离散型随机变量的函数的分布fx()的图像见右。从图象X◆问题：已知离散型随机变量X的分布列，求g()X的分布列。可以看出，正态随机变量在大量xæöxx12n◆方法：①写出X的分布列：X~ç÷。次观察或试验中所取的大量个值具有“中间多，两头少”的特点。pèøpp12n若XN~()0,1，则称X服从标准正态分布。其密度函数为æög(x12)gx()gx()nx2②将上述分布列改成：。1-xgX()~ç÷2pj(x)=e，（图