第5节条件概率概率的乘法公式主要内容：条件概率，概率的乘法公式，全概率公式与贝叶斯公式。◆二个事件的情形：P(AB)=P(B)P(AB|)，P(AB)=P(A)P(BA|)。条件概率◆多个事件的情形：P()AAAA◆通俗含义：设A、B表示两个随机事件，P(AB|)的含义是：123n=P(A)P(A|A)P(A|AA)P(A|)AAA在事件B已经发生的前提下，事件A发生的概率。121312nn121-P()AB概率的乘法公式适用于计算若干个事件同时发生的概率。◆严格定义：P(AB|)=，其中PB()0>。PB()例：一批产品共100件，其中有10件次品。从这100件产品计算条件概率的两种方法：1.直接看出；2.根据公式。中无放回地任取3件，求第3次才取到正品的概率。解：设{第次取到次品}，{第次取到次品}，例：10件产品中包括8件正品与2件次品，现从中无放回地A1=1A2=2{第次取到正品}，则所求的概率为：任取2件，设A＝{第1次取得正品}，B＝{第2次取得正品}，A3=3P()A1AA2378410990。则：P(B|A)=,P(B|A)==,PB()(抽签问题)。=P(A1)P(A2|A1)P(A3|AA12)=´´=0.00839951009998例：甲乙两班共有70名同学，其中女生40名。而甲班有30例：五张卡片分别写有M、A、X、A、M，随机排成一行，名同学，其中女生15名。则遇到甲班同学时，遇到的正好是正好排成MAXAM的概率是：2´´´2111´=1。151543230女同学的概率是：=。（P.37例22及P.38例23请自己看）302例：袋中装有4只黑球及1只白球，每次从袋中随意摸出一球并换入一只黑球，这样继续下去，则第5次摸到白球例：某种动物能活到20岁的概率为0.7，能活到25岁的概率44441为，求现年为岁的这种动物能活到岁的概率。的概率是：´´´´»0.08。（P.40例25请自己看）0.56202555555解：设A＝{能活到20岁}，B＝{能活到25岁}，则BAÌ，P(BA)PB()0.56全概率公式与贝叶斯公式所求概率为：P(BA|)====0.8。P(A)PA()0.7◆完备事件组：设B1，B2，…，Bn是试验E的n个事件，如果BBB=W，且BB=F¹()ij，即在一次试验例：n个人排队，已知乙排在甲后，求乙紧跟在甲后的概率。12nij中，这个事件至少会发生一个，但又不可能有任何二个同时解：设A＝{乙排在甲后}，B＝{乙紧跟在甲后}，则：n(n-1)!11P(AB)2发生，就称这n个事件是E的一个完备事件组。P(AB)==，，P(A)=P(BA|)==。n!n2P()An◆全概率公式：设A是E的一个事件，B1，B2，…，Bn是E的一个完备事件组，各B的概率均大于0，则：PA()=◆基本性质：条件概率具有与无条件概率完全类似的性质。iP(B)P(A|B)+P(B)P(A|B)++P(B)P(AB|)。如：0££P(AB|)1，P(A|B)=-1P(AB|)。1122nn概率统计讲义证明：P(A)=P(AW=)P(A()B12BBn)思考：若取出的一件产品是次品，则它最有可能由哪个车间生产？（由事件运算的分配律）方法：分别计算，，，再比较大小。=P()AB12ABABnP(BA1|)P(BA2|)P(BA3|)（由概率的可加性）=P(AB)+P(AB)++P()AB12n其它典型例题：P.41例26，P.43例28，P.44例29，请自己看。=P(B1)P(A|B1)+P(B22)P(A|B)++P(Bnn)P(AB|)第6节事件的独立性及伯努利概型◆贝叶斯公式：设A及B1，B2，…，Bn的含义同上，则：两个事件的独立性P(BA)P(B)P(AB|)两个事件的独立性P(B|A)=i==ii(in1,2,,)。iP(A)PA()◆严格定义：A与B相互独立ÛP(AB)=P(A)P(B)。若我们发现某事件的发生总是伴随着一个完备事件组当中的◆有关结论：①若A与B相互独立，且概率皆非0与1，则：某个事件发生，就很可能要用到全概率公式或贝叶斯公式。P(A|B)==P(A|B)PA()，P(B|A)==P(B|A)PB()。②若AB、独立，则AB、独立；AB、独立；AB、独立。例：甲袋中有2只白球、1只黑球，乙袋中有1只白球、2只黑球，◆通俗含义：由上述结论①可知，A与B相互独立的含义是：从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，问此球为白球A与B中任一事件的概率都不受另一事件是否发生而影响。的概率是多少。例：若