第一章事件与概率注2：必然事件与不可能事件是两种特殊的随机事件。必然事件第1节随机事件及其概率表示为集合就是样本空间，因此两者今后都用Ω表示。不可能事件表示为集合就是空集，因此两者今后都用Ф表示。主要内容：注3：样本空间的描述方式往往不是唯一的。如掷骰子的例子中，一、基本概念：随机现象，随机试验，样本空间，随机事件。也可认为Ω={奇,偶}。但在考虑同一问题时，Ω应当是固定的。二、事件之间的关系与运算三、概率的统计定义注4：样本点也称基本事件，样本空间也称基本事件空间。随机现象与随机试验例：设E表示“随意掷一粒骰子”，则：Ω＝{1,2,3,4,5,6}在自然界及人类社会中存在着两类不同的现象。某些事情在一定的A＝{1,3,5}＝{点数为奇}C＝{点数≤6}(必然事件)＝Ω条件下必然会发生(或不发生)，这种现象称为确定性现象。更多的事情B＝{4,5,6}＝{点数≥4}D＝{点数＞6}(不可能事件)＝Ф在一定的条件下可能发生也可能不发生，这种现象称为随机现象。在少数次观察或试验中，随机现象一般会表现出较强的不确定性。例：设E表示“随意掷三枚硬币”，A＝{恰有一枚正面朝上}，但在大量次观察或试验中，随机现象一定会表现出某种较强的规律性，1B＝{至少二枚正面朝上},C＝{三枚都正面朝上},请写出E称为随机现象的统计规律性。这种规律性是事物某种本质属性的体现。的样本空间Ω，并将A、B、C表示为样本点的集合。概率论就是研究随机现象统计规律性的数学学科。随机现象可以用随机试验来模拟。如果一个观察或试验在相同的条解：设三枚硬币分别是甲、乙、丙，用111表示“甲正、乙件下可以重复进行，但无法准确预言它的结果，这个观察或试验就称为正、丙正”，110表示“甲正、乙正、丙反”，依此类推。一个随机试验。常简称为试验。则：Ω＝{111,110,101,100,011,010,001,000}，实例：抛硬币，掷骰子，测量，射击，球赛，股票，彩票，赌博，1A＝{100,010,001}，B＝{111,110,101,011}，C＝{111}。天气，地震，……英文字母出现的频率，高尔顿板。例：袋中装有两只白球和两只黑球，E表示“先后取出一球”，1A＝{第一次摸出的是黑球},B＝{第二次摸出的是黑球},样本空间与随机事件1C＝{两次摸出的都是黑球},写出Ω，将A、B、C表示为集合。设E是个随机试验，我们把E的“不能或不必再分”的可能结果解：将四个球分别编号为1、2、3、4，其中1号与2号为白球，称为E的样本点，把E的所有样本点构成的集合称为E的样本空间，3号与4号为黑球。用12表示“先取出1号球后取出2号球”，常用Ω表示。E的样本空间的子集合称为E的随机事件，简称事件，依此类推。则Ω＝{12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43}，常用A、B、C等大写字母表示。1A＝{31,32,34,41,42,43}，B＝{13,14,23,24,34,43}，注1：事件是试验的可能结果。我们在解决实际问题时，首先要1C＝{34,43}。注意准确叙述事件的含义，然后应当会把事件表示为样本点的集合。某事件发生当且仅当它所包含的某一样本点发生。概率统计讲义事件之间的关系及运算例：求“甲产品滞销且乙产品畅销”的对立事件。解：设A＝{甲产品畅销}，B＝{乙产品畅销}，则所求为：设A、B都是随机试验E的事件，则A、B之间有以下关系及运算：①ABÌ表示若A发生则B发生。②AB=表示ABÌ且BAÌ。AB==ABAB。其含义是“甲产品畅销或乙产品滞销”。③AB表示A与B同时发生。AB也记为AB。当AB=F时，称A与B互不相容。④AB表示A与B至少有一发生。若A与B概率的统计定义互不相容，AB也记为AB+。交与并皆可推广到多事件的情形。设E是个随机试验，A是E的某个事件。将试验E进行n次，引入⑤AB-表示A发生但B不发生。⑥A表示A不发生。A称为A的nA对立事件。易知：两个事件若相互对立则互不相容，但反之不一定。记号：fA()=，其中n表示n次试验中A发生的次数，fA()称nnAn关于事件之间的关系及运算，还应该记住下列公式：FÌAÌW;为n次试验中A发生的频率。当n较小时，fAn()具有较大的不确定性。A=A;W=F;F=W;;;AA=FAA=WA-=BAB。但是，当n越来越大时，fAn()会越来越稳定地在某个常数p附近摆动。交换律、结合律、分配律、摩根律见课本，皆可推广到多事件的情形。此现象称为随机事件的频率稳定性。我们将常数p定义为事件A的概率，摩根律：A12AAn=A12AAn记为P