第十九章积分的定义和性质第一节二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分的概念回顾:一元函数的定积分.bnf()xdx=limf(ζi)⋅Δxi(1)∫aλ→0∑i=1其中,ζiii∈(,x−1x),λ=Δmax(xi).i基本思想:分割,以不变代变,作和,求极限.若极限(1)存在，则称f()x在[ab,]可积.若可积,则必有界.令Mii==supfxm(),inffx(),xx∈[]ii−1,xxx∈[]ii−1,x且达布上和与达布下和为nnSM=⋅iΔxi,Sm=ii⋅Δx.∑−∑i=1i=1则f()x在[ab,]可积⇔−=lim(SS)0.λ→0−可积函数类：连续函数,分段连续函数,单调有界函数等.性质:bb1.kf()xdx=kf()xdx.∫∫aabbb2.[]f()x±=gx()dxf()xdx±gxdx().∫∫∫aaabb3.f()xdx≤f()xdx.∫∫aabcb4.f()xdx=+f()xdxf()xdx.（区间可加性）∫∫∫aacbb5.设ab<.若f()xgx≥(),则f()xdx≥gxdx().∫∫aa6.(第一积分中值定理)若f()x在[ab,]连续,gx()在[ab,]可积，且不变号,则bbf()()xgxdx=⋅f(ζζ)gxdx(),∃∈[]ab,.∫∫aa7.Cauchy-Schwartz不等式:bbb2⎡⎤f()()xgxdx≤⋅f22()xdxg()xdx.⎣⎦⎢⎥∫∫∫aaabb8.计算(Newton-Leibniz公式):f()xdx==−Fx()Fb()Fa().∫aa9.应用(第八章)一.曲顶柱体的体积nVf=lim(ξii,η)⋅Δδi(2)d→0∑i=1二.非均匀物体的质量:给定密度函数ρρ=∈(,xyz,),(,xyz,)V⊂\3,V有界.则nm=limρξ(iii,η,ζ)⋅ΔVi.(3)d→0∑i=1三.非均匀空间曲线的质量:给定密度函数ρ=ρ(,xyz,),(,,)xyz∈A,则A分割成:ΔΔAA"A12,,,Δn.令d=max(ΔAi),则inm=limρξ(iii,η,ζ)⋅ΔAi.(4)d→0∑i=1四.空间曲面的质量:给定密度函数ρ=ρ(,xyz,),(,,)xyz∈S,分割S:ΔΔSS12,,,"ΔSn.令di为ΔSi的直径,dd=maxi.则inm=limρξ(iii,η,ζ)⋅ΔSi.(5)d→0∑i=1抽去几何意义及物理意义:n1.fxydxdy(,)=limf(ξii,ησ)⋅Δi.(二重积分)∫∫d→0∑Di=1n2.f(,xyzdxdydz,)=limf(ξηζiii,,)⋅ΔVi.(三重积分)∫∫∫d→0∑Vi=1n3.fxyzd(,,)A=limf(ξηζiii,,)⋅ΔAi.(第一类曲线积分)∫d→0∑Ai=1n4.f(,xyzdS,)=limf(ξηζiii,,)⋅ΔSi.(第一类曲面积分)∫∫d→0∑Si=1上面的四种积分,为简单起见,统一记成nfMd()Ω=⋅lim(fMii)ΔΩ∫Ωd→0∑i=1此时,上式称为f()M在Ω上的Riemamn积分,或称f()M在Ω上可积.注：∫∫1⋅dxdy=平面有界区域D的面积D∫∫∫1⋅dxdydz=立体V的体积V∫1⋅=dA空间曲线A的弧长A∫∫1⋅dS=曲面S的面积S统称为Ω的度量.定理19.1.(可积的必要条件)若f()M在Ω上可积,则f()M在Ω上有界.定理19.2.若f()M在Ω上连续,则f()M在Ω上可积.第二节积分的性质定理19.3.若f()M在Ω上可积,k为常数,则kfM⋅()在Ω上也可积,且kf()MdΩ=⋅kf()MdΩ.∫∫ΩΩ定理19.4.若f()M和gM()在Ω上可积,则f()MgM±()在Ω上也可积,且(()fMgMd±Ω=Ω±())fMd()gMd()Ω.∫∫∫ΩΩΩ定理19.5.若Ω=Ω1∪Ω2,且Ω12,Ω无公共内点,则f()MdΩ=fMd()Ω+fMd()Ω.∫∫∫ΩΩΩ12定理19.6.若f(),()MgM在Ω上可积,且f()MgM≤(),则f()MdΩ≤ΩgMd().∫∫ΩΩ定理19.7.若f()M在Ω上可积,则f()M在Ω上亦可积,且f()MdΩ≤ΩfM()d.∫∫ΩΩ但反过来f()M可积推不出f