第十三章多元函数的极限与连续第一节平面点集一、邻域，点列的极限我们知道,limxn=A当且仅当∀ε>∃>0,N0,当nN>时,有xAn−<ε.n→∞A的ε邻域为(,A−εAOA+=εε)(,).定义.给定M000(,xy)，平面上点M0的ε邻域为OMMM(M00,εε)=<{:}=−+−(,xy):(xx)22(yy)<ε.{}00定义.给定平面上的点列{Mnnn(,xy)}，及点{M000(,xy)}.则limMn=M0n→∞当且仅当∀>ε0,∃N>0,当nN>时,有MOMn∈(,0ε).此时称Mn收敛于M0，也可记为MMnn→→0()∞,或(,xynn)→→(,xy00)(asn∞).定理13.1.(,xynn)→⇔→→→(,xy00)xnxy0,nyn0(∞).定理13.2.若(,xnnyxy)→(,00),且(,xnnyxy)→(,00′′),则(,x00yxy)(,=00′′).二、平面点集的基本概念.定义.设E是一平面点集M0(内点):∃⊂OM(,)0δE.M1(外点):∃∩OM(,)1ηE=∅.M*(边界点):∀OM(,*ε)既含E的点,也含非E的点.边界:全体边界点.记作∂E.E开集当且仅当E的所有点是内点.例13.1.设Exyxy={(,):1<+≤224}.内点:14<xy22+≤外点:xy22+<1或xy22+>4边界:∂=Exyxy{(,):22+=4orxy22+=1}定义.（聚点）给定M0及平面点集E.若对∀ε>∃0,M′∈EM,′≠M0,使得MOM′∈(,0ε),则称M0是E的聚点.显然,内点和边界点都是聚点.定理13.3.若M0是E的聚点，则存在点列{Mn}⊂E收敛于M0.定义.若E包含其所有聚点，则称E是闭集.定义.（区域）设E是开集，且其中任意两点都可用一条有限条直线所成的折线连接起来，而这条折线含在E中，则称E是区域。若一区域包含其边界,则称其为闭区域.例13.2.说明下列集合是不是开集，闭集，区域，闭区域，有界.(1){(,xy)1<+≤x22y2}(2){(,xy)xy=1}(3){(,xy)x22+y≠1}(4){(,xy)(,)xy≠(0,0)}(5){(,xyx)22≤≤−y1x}三、平面点集的几个基本定理1.致密性定理定理13.4.（Weierstrass定理）若{Mnnn(,xy)}是有界点列，则它必含收敛子列.定义.{Mn}有界,是指:∃>δ0,使得{MOn}⊂(0,δ).显然,{Mnnn(,xy)}有界当且仅当{xnn},{y}有界.2.矩形套定理定义.设Raxbcydnnn=≤≤≤≤{nn,,1n}=⋅⋅⋅,2,,若RRR123⊃⊃⊃⋅⋅⋅,则Rn成为矩形套.定理13.4.若Rn是一矩形套，且bann−→−→0,dcnn0,则存在唯一的M000()xy,,∈∀Rnn.3.有限覆盖定理定义.集合（平面点集）E有界,是指:∃δ>0,使得EO⊂(0,δ).定义.若E⊂∪Δi,且每个Δi是一个矩形,则称{Δi}为E的开覆盖.i定理13.5.若E是有界闭区域，则E的任何开覆盖{Δi}含有限子覆盖.4.Cauchy收敛准则定理13.6.平面点列{Mn}收敛当且仅当∀ε>∃>0,N0,当mn,>N时,dM()mn,M<ε.第二节多元函数的极限和连续性一、二元函数定义.设E是一平面点集,R是实数集,f:E→R.若∀(,xyE)∈,在f之下,存在唯一的uR∈,使得ufxy=(,),则称f是E上的二元函数.其值域为f()E=∀∈{f(,)xy(,)xyE}.例题13.3.1.f(,xy)=+x22y2.UIR=若记zfxy=(,),则在三维Euclid空间R3中,表示曲面.例题13.4.1.zx=+2y2（旋转抛物面）2.zx=−2y2（马鞍面）二、二元函数的极限设M(,xy)及M000(,xy).则22MM→⇔0000dMM(,)=(xx−)+−→(yy)0.定义.limf(xy,)=A是指,limf(xy,)=A.即MM→0dMM(,0)0→∀>ε0,∃>δδ0,当时0<dMM(,0)<,f(xy,)−A<ε.也即∀ε>∃>0,δδ0,当0<(xx−0