第十五章极值和条件极值第一节极值和最小二乘法一、极值定义.给定二元函数zfxy=(,),若在点M000(,xy)的领域内，有f(,xy)≤f(x00,y)(或f(,xy)≥f(x00,y))则称f(,xy)在M0点可取极大值(或极小值)f(,xy00)，点M0称为f(,xy)的极大值点(或极小值点).⎧极大值⎧极大值点极值⎨极值点⎨⎩极小值⎩极小值点定理15.1.(取极值的必要条件)若f(,xy)在点M000(,xy)处取极值，且fx(,xy00)，fy(,xy00)都存在，则必有fxy(,xy00)0==fxy(,00).(1)注1.条件(1)不是充分的,例如马鞍面zx=2−y2,在(0,0)点,有ffxy(0,0)==0(0,0).但在（0,0）不取极值.注2.偏导数不存在的点,也有可能是极值点.例如,⎧xx≥0z=⎨⎩−xx<0显然fx(0,c)不存在，∀c，但是（0，c）处取极小值.定义.一阶偏导数等于零的点和一阶偏导数不存在的点，称为f(,xy)的驻点(criticalpoint).定理15.2.(二阶偏导数判别法)设f(,xy)在M000(,xy)的某领域内具有连续的二阶偏导数,记A=fxy(,)Bfxy=(,)Cfxy=(,)x200,xy00,y200,并记H=AC−B2.(1)若HA>>0,0,则在取极小值.(2)若HA><0,0,则在取极大值.(3)若H<0,则不取极值.(4)若H=0,不知道.22例15.1.给定z=−xy，在M0(0,0),由于ABC=2,==−0,2,所以H=−40<.因此在M0处不取极值.例15.2.讨论f(,xy)=−−4xyx4y4的极值.求f(,xy)在有界闭区域D上的最大值和最小值:1.求f(,xy)在D内的所有驻点,并求其上的函数值.2.求f(,xy)在边界∂D的极值.3.比较.例15.3.求uxyx=+−sinsinsin(+y)在闭区域D(如下图)上的最大值和最小值.例15.4.有一块长方形薄铁皮，宽bc=24m.问如何设计才能使槽的横截面积最大.二、最小二乘法问题:已知平面上的n个点(x11,yxy),(2,2),L,(xynn,)，求一个一次函数（称为目标函数）yaxb=+，使其能代表n个点，即怎样合理选择系数ab,？令2εii=−yaxbi(),1,2,i−=L,n（直线与点(,xiiy)的偏差）n2222Ea(,):b=+++ε12εεLn=−−∑(yiiaxb)i=1所以，问题转化为求E(,)ab的最小值，这就是最小二乘法.由于∂En=−2(yaxbx−−)=0,∂a∑iiii=1∂En=−∑2(yaxbii−−)=0.∂bi=1因此,nnn2axbx()()∑∑∑ii+=xyii,iii===111nnaxnby()∑∑ii+=.ii==11从中可求出a和b.三、多元函数的极值定理15.3.设ufxx=(,12,L,xn)在A(,aa12,L,an)的某领域具有连续的二阶偏导数，且f(,,,)0,1,2,,aaa=i=n.令xni12LLα==f(,aa,,a)(,ij1,2,,)n,ijxiiy12LLn⎛⎞αα11K1n⎜⎟A=，Δ=A的顺序主子式⎜MOM⎟k.⎜⎟⎝⎠ααnn1Ln(1)若Δ>k0，(1,2,,kn=L)，则f(,aa12,L,an)是极小值.k(2)若(1−Δ>)k0，(1,2,,kn=L)，则f(,aa12,L,an)是极大值.例15.5.求f(,xyz,)=++−+−x222yzxyx2z的极值.类型题.求f(,,)2xyz=+++−−++−x22y3224628z2xyyzzxxyz的极值.第二节条件极值例15.6.求fxy(,)=−−+3xy6x3y7在闭三角形上的最大值与最小值，其中三角形的三个顶点分别为(0,0),(3,0),(0,5).极值问题:无条件极值:对自变量只有定义域限制.条件极值:对自变量除定义域限制外,还有其他条件限制.例如，求一定点(,x000yz,)到一曲面Gxyz(,,)=0的最短距离.即设12222(,xyz,)∈G,要求dxxyyzz=−[()(000+−)(+−)]的最小值.条件极值的求法一、求函数zfxy=(,)在限制条件ϕ(,xy)=0下的极值.引进