高二数学竞赛综合练习题（3）班级学号姓名1.已知，则可化简为2．如果复数的模为4，则实数a的值为3.过椭圆的右焦点作倾斜角为弦AB，则为4.向量，，，则的取值范围为。5.已知函数在上有两个零点，则m的取值范围为6.已知，则的解为7．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\al(2，x[0，1],x，x[0，1].))则使f[f(x)]＝2成立的实数x的集合为.8．点A，B分别在x轴与y轴的正半轴上移动，且AB＝2，若点A从(eq\r(3)，0)移动到(eq\r(2)，0)，则AB中点D经过的路程为.9．关于x的不等式x2ax+2a<0的解集为A，若集合A中恰有两个整数，则实数a的取值范围是.10.设为整数，且，则11.设，求在上的最大值和最小值。12.给定两个数列，满足，，。证明对于任意的自然数n，都存在自然数，使得。13．已知函数，其中R．(1)求函数y=f(x)的单调区间；(2)若对任意的x1，x2[1，1]，都有，求实数的取值范围；(3)求函数的零点个数．14.设，且。求证：，并指明等号成立的条件。练习3参考答案1.2.3.4.[1,3]5.6.或7.8.eq\f(,12)9.10.3或5711．当当由此可知。当；当；当。12.为等比数列，首项为2，公比为2，所以。又由已知，由，所以取即可。13．解:(1)f´(x)=x2－2mx－1,由f´(x)0，得xm－eq\r(m2+1),或xm+eq\r(m2+1);故函数的单调增区间为(－∞,m－eq\r(m2+1)),(m+eq\r(m2+1),+∞),减区间(m－eq\r(m2+1),m+eq\r(m2+1)).(2)“对任意的x1，x2[1，1]，都有|f(x1)f(x2)|4”等价于“函数y=f´(x),x[1，1]的最大值与最小值的差小于等于4”.对于f´(x)=x2－2mx－1,对称轴x=m.①当m<1时,f´(x)的最大值为f´(1),最小值为f´(1),由f´(1)f´(1)4,即4m4,解得m1,舍去;②当1m1时,f´(x)的最大值为f´(1)或f´(1),最小值为f´(m),由eq\b\lc\{(\a\al(f´(1)f´(m)4,f´(1)f´(m)4)),即eq\b\lc\{(\a\al(m22m30,m2+2m30)),解得1m1;③当m>1时,f´(x)的最大值为f´(1),最小值为f´(1),由f´(1)f´(1)4,即4m4,解得m1,舍去;综上,实数m的取值范围是[1,1].(3)由f´(x)=0,得x2－2mx－1=0,因为△=4m2+4>0,所以y=f(x)既有极大值也有极小值.设f´(x0)=0,即x02－2mx0－1=0，则f(x0)=eq\f(1,3)x03－mx02－x0+eq\f(1,3)m=－eq\f(1,3)mx02－eq\f(2,3)x0+eq\f(1,3)m=－eq\f(2,3)x0(m2+1)所以极大值f(m－eq\r(m2+1))=－eq\f(2,3)(m－eq\r(m2+1))(m2+1)>0，极小值f(m+eq\r(m2+1))=－eq\f(2,3)(m+eq\r(m2+1))(m2+1)<0,故函数f(x)有三个零点.14证明：由柯西不等式得到（1）（1）式右边的分子==。等号成立条件是。结论成立。