高二数学竞赛综合练习题（5）班级学号姓名1．已知集合N，且N，则．2．已知正项等比数列的公比，且成等差数列，则．3.在中,若,则的值为．4.在等腰三角形中,底边,,,若,则=．5.已知、分别是椭圆的左、右焦点,点是椭圆上的任意一点,则的取值范围是．6.若,满足,则的值为．7.已知函数,若关于的方程有且仅有四个根,其最大根为,则函数的值域为．8．已知数列满足：为正整数，如果，则．9．在中，已知内角，边，则的面积的最大值为.10.已知定义在上的函数和满足，，．令，则使数列的前项和超过的最小自然数的值为.11．已知正项数列满足且，，求的通项公式．12．已知多项式.试探求对一切整数n，是否一定是整数？并证明你的结论．13.如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆经过点,椭圆的离心率,、分别是椭圆的左、右焦点.(1)求椭圆的方程；(2)过点作两直线与椭圆分别交于相异两点、.①若直线过坐标原点,试求外接圆的方程；②若的平分线与轴平行,试探究直线的斜率是否为定值？若是,请给予证明；若不是,请说明理由.14．对于定义在区间上的函数,若任给,均有,则称函数在区间上封闭.试判断在区间上是否封闭,并说明理由；若函数在区间上封闭,求实数的取值范围；若函数在区间上封闭,求的值.练习5参考答案1.12.3.4.05.6.－17.8.59．；10.．11.解在已知等式两边同时除以，得，所以．令,则，即数列是以＝4为首项,4为公比的等比数列，所以.所以,即.于是，当时,，因此,12.（Ⅰ）先用数学归纳法证明：对一切正整数n，是整数.①当n=1时，,结论成立.②假设当n=k（k≥1，k∈N）时，结论成立，即是整数，则当n=k+1时，=根据假设是整数，而显然是整数.∴是整数，从而当当n=k+1时，结论也成立.由①、②可知对对一切正整数n，是整数.（Ⅱ）当n=0时，是整数.(Ⅲ)当n为负整数时，令n=-m，则m是正整数，由（1）是整数，所以=是整数.综上，对一切整数n，一定是整数.13．解:(1)由，，得，故椭圆方程为又椭圆过点，则，解得，所以椭圆的方程为(2)①记的外接圆的圆心为.因为,所以的中垂线方程为,又由,,得的中点为，而，所以的中垂线方程为，由，得所以圆T的半径为，故的外接圆的方程为(说明:该圆的一般式方程为)(3)设直线的斜率为，，，由题直线与的斜率互为相反数，直线的斜率为.联立直线与椭圆方程：，整理得，得，所以，整理得，又=，所以为定值。14．解:(1)在区间上单调递增,所以的值域为[-3,0]而[-1,0],所以在区间上不是封闭的(2)因为,①当时,函数的值域为,适合题意②当时,函数在区间上单调递减,故它的值域为,由,得,解得,故③当时,在区间上有,显然不合题意综上所述,实数的取值范围是(3)因为,所以,所以在上单调递减,在上递增,在上递增.①当时,在区间上递增,所以,此时无解②当时,因,矛盾,不合题意③当时,因为都在函数的值域内,故,又,解得,从而④当时,在区间上递减,(*),而,经检验,均不合(*)式⑤当时,因,矛盾,不合题意⑥当时,在区间上递增,所以,此时无解综上所述,所求整数的值为