§3.3几何概型制作人:刘老师审核人:韩老师授课时间:课时:教学目标:（1）正确理解几何概型的概念；（2）掌握几何概型的概率公式：；（3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型；重点难点重点:几何概型的概念、公式及应用.难点:对几何概型的理解.问题探究【提出问题】在现实生活中，常常会遇到试验的所有可能结果是无穷多的情况，这时就不能用古典概型来计算事件发生的概率.对此，我们必须学习新的方法来解决这类问题.【探究新知】（一）：几何概型的概念思考1：某班公交车到终点站的时间可能是11：30～12：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一点上.这两个试验可能出现的结果是有限个，还是无限个？若没有人为因素，每个试验结果出现的可能性是否相等？思考2：有一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段的长度都不小于1m的概率是多少？分析：从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为3m的绳子上除端点外的任意一点，记“剪得两段绳子长都不小于1m”事件A.问题1每一个基本事件是不是等可能发生的的？且能否看做线段上的一个点与其对应？问题2与每一个基本事件对应的这些点构成的几何区域D是什么？问题3事件A发生，剪刀应剪在什么位置？问题4事件A发生应与线段上什么样的点对应？这些点构成的几何区域d是什么？问题5几何区域D的长度？问题6d的长度占D的长度的几分之几？结论：对于一个随机事件试验，我们将每一个基本事件理解为从某个特定的几何区域内任取一点（即找“对应点”），该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的一点，这里区域可以是线段、角、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机实验称为几何概型，也即，如果只与成比例，则称这样的概率模型为几何概型.参照古典概型的特性，几何概型有哪两个基本特征？（1）可能出现的结果有无限多个；（2）每个结果发生的可能性相等.【探究新知】（二）：几何概型的概率对于具有几何意义的随机事件，或可以化归为几何问题的随机事件，一般都有几何概型的特性，我们希望建立一个求几何概型的概率公式.思考3：甲乙在玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜。对于下列两个转盘，甲获胜的概率分别是多少？你是怎样计算的？BBBNNNBBBNNN结论：一般地，在几何概型中试验的全部结果（即基本事件）所构成的区域记为D，记事件“该点落在其区域D内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率思考4：向边长为1m的正方形内随机抛掷一粒芝麻，那么芝麻落在正方形中心和芝麻不落在正方形中心的概率分别是多少？(芝麻大小可忽略不计)由此能说明什么问题？结论：概率为0的事件可能会发生，概率为1的事件不一定会发生，即.【典型例题】(一)测量长度例1某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率.例2某公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过7分钟的概率.分析：因为客车每10分钟一班,他在0到10分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,这符合几何概型的条件.(二)测量角度例3.如图，有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为，若向圆内投镖，如果某人每次都投入圆内，那么他投中阴影部分的概率为（）．．．．(三)测量面积例4．取一个边长为的正方形及其内切圆（如图），随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率．（＂测度＂为面积）分析：由于是随机丢豆子，故可认为豆子落入正方形内任一点的机会都是均等的，于是豆子落入圆中的概率应等于圆面积与正方形面积的比．解：记＂豆子落入圆内＂为事件，则．答：豆子落入圆内的概率为．图例5.假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6:30～7:30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去上班的时间在早上7:00～8:00之间，如果把“你父亲在离开家之前能得到报纸”称为事件A，那么事件A是哪种类型的事件？分析：送报人到达的时刻与父亲离开家的时刻是相互独立且是等可能的，所以应该引入两个变量来求解.设送报人到达的时间为x(6.5≤x≤7.5)，父亲离开家的时刻为y(7≤y≤8)事件A对应于不等关系“y≥x”.怎样建立x与y之间的关系才能解决这一不等关系呢？自然我们就想到建立二维平面直角坐标系，将x与y之间的关系向点（x,y）转化，用点来解决。试验全部结果所构成的区域，面积，事件A所构成的区域，这是一个几何概型.(四)