山东省潍坊市数学高二上学期自测试题及答案指导一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、已知函数f(x)=x^2-2ax+2a在区间[1,3]上有最小值2，则a的值为_______．A.1或5B.1C.5D.1或-3首先，二次函数fx=ax2+bx+c的对称轴为x=−b2a。对于函数fx=x2−2ax+2a，其对称轴为x=2a2=a接下来，我们根据对称轴a与区间1,3的位置关系进行分类讨论：当a≤1时，函数fx在区间1,3上单调递增。因此，最小值出现在区间的左端点，即f1=1−2a+2a=1≠2这与题目给定的最小值2矛盾，所以a≤1不成立。当1<a<3时，函数fx在区间1,a上单调递减，在区间a,3上单调递增。因此，最小值出现在对称轴上，即fa=a2−2a2+2a=2解这个方程，我们得到−a2+2a=2⟹a2−2a+2=0但这个方程没有实数解，因为判别式Δ=4−8=−4<0。所以1<a<3也不成立。当a≥3时，函数fx在区间1,3上单调递减。因此，最小值出现在区间的右端点，即f3=9−6a+2a=2解这个方程，我们得到3a=7⟹a=73但这与a≥3矛盾，所以a≥3也不成立。但我们需要注意到，虽然73不满足a≥3，但我们还没有排除a=3的可能性（因为a≥3是开区间）。将a=3代入f3，我们得到f3=9−6×3+2×3=3这仍然不等于2，但我们需要考虑另一种情况：即当a稍小于3但接近3时（且由于函数在1,3上单调递减），最小值可能由f3的某个邻域值给出。然而，由于我们已经知道f1=1≠2，并且函数在1,a上单调递减，而在a,3上单调递增（如果a<3），那么唯一可能使fx=2的点是在x=1和x=3之间的某个点。但这样的点只可能出现在对称轴上，即x=a。由于我们已经排除了1<a<3的情况，我们需要回到a=3的边界情况。然而，直接计算f3并不满足条件。但这里有一个隐含的解：即当a=3时，函数在区间1,3上单调递减，并且由于区间端点f1=1和f3=3都大于2，因此最小值必然出现在区间内部（但由于函数是单调的，这实际上是不可能的，除非我们考虑闭区间并检查端点值）。然而，这里的关键是：当我们将a=3代入原方程并求解时，会发现没有x∈1,3使得fx=2。但这里我们需要注意到另一个可能性：即原答案中可能包含了错误或遗漏。实际上，我们应该回到原方程并重新检查。当我们检查fa=2时（无论a在何位置），我们得到a2−2a2+2a=2⟹−a2+2a−2=0这个方程仍然没有实数解（因为判别式仍然小于0）。但这里的关键是：我们之前忽略了$2、若函数fx=ax2+bx+c的图像与x轴有两个不同的交点，且f1=0，则下列哪个选项一定正确？A.a>0B.b<0C.c=0D.b2−4ac>0答案：D解析：首先，根据题意，函数fx=ax2+bx+c的图像与x轴有两个不同的交点，这意味着该二次方程ax2+bx+c=0有两个不同的实根。根据判别式的性质，二次方程有两个不同的实根的条件是判别式Δ=b2−4ac>0。因此，选项D是正确的。再来看其他选项：A.a>0：这个条件表示二次函数开口向上，但题目并没有给出这一信息，所以不一定正确。B.b<0：这个条件表示一次项系数为负，但题目也没有给出这一信息，所以不一定正确。C.c=0：题目中只给出了f1=0，即a12+b1+c=0，即a+b+c=0，并不能推导出c=0，所以不一定正确。综上所述，只有选项D一定正确。3、若函数fx=ax2+bx+c在区间1,3上单调递增，且f1=2，f3=10，则a的取值范围是？A.a>1B.a≥1C.a≤1D.a<1答案：C解析：首先，函数fx=ax2+bx+c在区间1,3上单调递增，意味着其导数f′x=2ax+b在该区间内非负。由于fx在1,3上单调递增，我们有：f′x=2ax+b≥0 对于 x∈1,3特别地，在区间的端点处：即：另外，已知f1=2和f3=10，我们可以写出以下方程：简化得到：通过消去c，我们得到：9a+3b+c−a+b+c=10−28a+2b=84a+b=4b=4−4a将b=4−4a代入2a+b≥0和6a+b≥0中：2a+4−4a≥02a+4−4a≥0−2a+4≥0−2a≥−4a≤26a+4−4a≥06a+4−4a≥02a+4≥02a≥−4a≥−2结合以上两个不等式，我们得到−2≤a≤2。由于fx在区间1,3上单调递增，且二次函数的开口方向由a决定，若a>0，则函数在区间内先减后增，不符合题意。因此，a必须满足a≤1才能保证函数在区间内单调递增。故正确答案是C：a≤1。4、若a=(1/2)^(log₂(3/2))，b=(1/3)^(log₃(2))，c=log₁/₂(√3)，