2024年湖南省常德市数学高三上学期模拟试卷及答案指导一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、已知函数f(x)={x^2+2x,x≤0(1/2)^x-1,x>0}，若函数g(x)=f(x)-m有三个零点，则实数m的取值范围是()A.(0,1)B.[0,1)C.(1/2,1)D.[1/2,1)首先，我们分析函数fx的单调性和值域。当x≤0时，fx=x2+2x。这是一个开口向上的二次函数，其对称轴为x=−1。因此，在区间(−∞,0]上，fx是单调递增的。当x=−1时，fx取得最小值−1；当x=0时，fx=0。所以，在区间(−∞,0]上，fx的值域为−1,0。当x>0时，fx=12x−1。由于12的底数小于1，所以这是一个单调递减的指数函数。当x趋近于0时，fx趋近于0（但不包括0）；当x趋近于正无穷时，fx趋近于-1（但不包括-1）。所以，在区间0,+∞上，fx的值域为−1,0。综合以上两部分，函数fx的整体值域为[−1,0)。接下来，我们考虑函数gx=fx−m。由于gx有三个零点，那么函数y=fx与直线y=m必须有三个交点。由于fx的值域为[−1,0)，所以直线y=m必须与fx的图像在y=−1上方且y=0下方有三个交点。这意味着m必须满足−1<m<0，但由于fx在x=0处取值为0，且当x趋近于0时（从正方向），fx趋近于0但不等于0，所以实际上m可以取到0（此时有一个交点在x=0处）。因此，实数m的取值范围是[0,1)。故答案为：B.[0,1)。2、已知函数fx=sinx+cosx，当x∈0,π2时，函数的最大值为：A.2B.1C.2D.32解析：为了找到给定区间内函数的最大值，我们首先可以求出该函数在区间内的导数，并确定它的临界点。接下来，我们将计算这些临界点以及区间端点处的函数值，以此来确定最大值。我们先求fx的导数，然后找出导数等于0的点，再比较这些点以及区间端点处的函数值。导数−sinx+cosx在区间0,π2内等于0的点是x=π4。计算该点及区间端点处的函数值后，我们发现函数的最大值为2。因此正确答案是A.2。这道题目考察了学生对三角函数性质的理解以及利用导数寻找函数极值的能力。3、已知函数f(x)=1/ln(x+1)-√(1-x^2)的定义域为(-1,1]∪(1,+∞)，则函数y=f(x)+ln(x+1)的定义域为()A.(-1,1]B.(-1,1)C.(-1,0)∪(0,1]D.(-1,0)∪(0,1)∪(1,+∞)首先，考虑函数fx=1lnx+1−1−x2的定义域。对于1lnx+1，需要满足两个条件：x+1>0，即x>−1lnx+1≠0，即x+1≠1，即x≠0对于1−x2，需要满足：1−x2≥0，解得−1≤x≤1综合以上三个条件，得到fx的定义域为−1,0∪(0,1]。接下来，考虑函数y=fx+lnx+1。由于fx的定义域是−1,0∪(0,1]，并且lnx+1的定义域是−1,+∞，我们需要找到这两个定义域的交集。显然，交集是−1,0∪(0,1]。故答案为：C.−1,0∪(0,1]。4、已知函数f(x)={x^2+2x,x≤0(1/2)^x-1,x>0}，若函数g(x)=f(x)-k有三个零点，则实数k的取值范围是()A.(0,1)B.[0,1)C.(1,+∞)D.[1,+∞)首先，我们分析函数fx的单调性。当x≤0时，fx=x2+2x，这是一个开口向上的二次函数，其对称轴为x=−1。因此，在区间(−∞,−1]上，fx是单调递减的；在区间−1,0上，fx是单调递增的。特别地，f−1=−12+2−1=−1，f0=02+20=0。当x>0时，fx=12x−1，这是一个指数函数，其底数小于1，因此在整个正数域上是单调递减的。特别地，当x趋近于0时，fx趋近于12−1=−12；当x趋近于正无穷时，fx趋近于0但始终小于0。接下来，我们考虑函数gx=fx−k的零点。由于fx在x≤0时有一个零点x=0，并且在这个区间内先减后增，因此要使gx有三个零点，必须有一个零点在x≤−1的区间内，且这个零点对应的fx值必须大于−k但小于0（因为f−1=−1）。同时，由于fx在x>0时是单调递减且趋近于0但始终小于0的，因此要使gx在这个区间内有两个零点，必须有−k落在−12,0这个区间内。综合以上分析，我们得出−k∈−12,0，即k∈0,12。但注意到这个区间并不包含题目选项中的任何一个，我们需要重新检查。实际上，我们在分析x>0时的情况时，只需要保证−k小于fx在x>0时的最大值即可，而这个最大值趋近于0但始终小于0。因此，我们只需要−k∈[0,+∞)中的一部分，即−k∈[0,1)（因为当−k=1时，gx在x>0时只有一