圆系方程教学目标：熟悉并掌握各种圆系方程；能用圆系方程快速求解曲线方程。知识要点：圆系方程的建立题型的转化经典例题（1）过两圆交点的圆系若两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1=0与C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2=0相交于A、B两点，则过A、B两点的圆系方程为：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2=0)(λ≠－1)．当两圆相切时，方程表示过切点且与两圆都相切的圆系方程．若λ=－1，表示公共弦AB所在直线(两圆相切时为公切线)的方程．求经过两圆x2＋y2＋6x－4=0和x2＋y2＋6y－28=0的交点，并且圆心在直线x－y－4=0上的圆的方程．答案：设所求圆的方程为x2+y2+6x-4+λx2+y2+6y-28=0(λ≠-1)即x2+y2+6λ+1x+6λλ+1y-4+28λλ+1=0所以圆心为(-3λ+1,-3λλ+1)因为圆心在直线x-y-4=0上，所以-3+3λλ+1-4=0,解的λ=-7所以圆的方程为x2+y2-x+7y-32=0解析：设出圆系方程后配成标准方程，找到圆心求解（2）、过圆与直线交点的圆系设圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0与直线L：ax＋by＋c=0交于A、B两点，则方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(ax＋by＋c)=0表示过A、B两点的圆系方程．若圆C与直线L切于点A，则方程表示与直线L：ax＋by＋c=0相切于A点的圆系方程．例2、已知圆x2＋y2＋x－6y＋m=0与直线x＋2y－3=0的两个交点为P、Q，若以PQ为直径的圆过原点，求m的值．答案：设所求圆的方程为x2＋y2＋x－6y＋m＋λ(x＋2y－3)=0，因为圆经过原点，所以m=3k，所以圆方程为x2＋y2＋(λ+1)x+(2λ-6)y=0所以圆心为(-λ+12,-λ+3),因为圆心在直线x+2y-3=0上，所以5λ-5=0所以λ=1，m=3λ=3解析：考察过圆与直线交点做为直径的圆系方程例3、求证圆系x2＋y2＋2λx＋(4λ＋10)y＋20＋10λ=0中任意两圆相切于同一点，并求出切点坐标．答案：把圆系方程化成标准形式(x+λ)2+(y+2λ+5)2=5(λ+1)2任意取λ=λ1或λ2,只要求证两个圆心之间的距离等于两倍半径，即可证明（3）、与已知圆切于圆上一定点的圆系与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0切于点P(x0，y0)的圆系方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＋λ(x2＋y2＋Dx＋Ey＋F)=0(λ≠－1)，当λ=－1时，方程表示过P(x0，y0)的切线方程．例4、求经过A(4，－1)且与已知圆x2＋y2＋2x－6y＋5=0切于B(1，2)的圆的方程．答案：设(x－1)2＋(y－2)2＋λ(x2＋y2＋2x－6y＋5)=0(λ≠－1)因为圆过（4，-1），代入圆方程的λ=-12所以圆的方程为x2＋y2-6x－2y＋5=0解析：考察与已知圆切于圆上一定点的圆系方程（4）、过一定点的圆系过定点P(x0，y0)的圆系方程为：(x－x0)2＋(y－y0)2＋m(x－x0)＋n(y－y0)=0．例5、求过三点A(－1，5)，B(5，5)，C(6，－2)的圆的一般方程．答案：设圆系方程为(x+1)2＋(y－5)2＋m(x+1)＋n(y－5)=0依题意把（5，5）和（6，-2）代入圆的方程得m=-6，n=8所以圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=25解析：考察过一定点的圆系方程（5）、过两定点的圆系过两已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)的圆系方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＋λ[(x－x1)(y2－y1)－(y－y1)(x2－x1)]=0，方程的前半部分为以AB为直径的圆的方程表达式，后半部分为直线AB的两点式的表达式，当λ=0时，方程为以AB为直径的圆的方程．例6、求过点A(5，2)和B(3，－2)且圆心在直线2x－y=3上的圆的方程．答案：设圆方程为(x－5)(x－3)＋(y－2)(y+2)＋λ[(x－5)(－2－2)－(y－2)(3－5)]=0即(x－5)(x－3)＋(y－2)(y+2)＋λ[-4(x－5)+2(y－2)]=0即x2－(8+4λ)x＋y2＋2λy＋11+16λ=0，求出圆心(4+2λ,-λ)代入直线2x-y=3，解得λ=-1所以圆的方程为x2+y2-4x-2y-5=0解析：考察过两定点的圆系方程例7、求与已知圆x2＋y2－7y＋10=0相交，所得的公共弦平行于直线2x－3y－1=0且过(－2，3)，(1，4)两点的圆的方程．答案：设圆方程为(x＋2)(x－1)＋(y－3)(y－4)＋λ[(